MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xralrple Unicode version

Theorem xralrple 11433
Description: Show that is less than by showing that there is no positive bound on the difference. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
xralrple
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem xralrple
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpge0 11261 . . . . . 6
21adantl 466 . . . . 5
3 simplr 755 . . . . . 6
4 rpre 11255 . . . . . . 7
54adantl 466 . . . . . 6
63, 5addge01d 10165 . . . . 5
72, 6mpbid 210 . . . 4
8 simpll 753 . . . . 5
93rexrd 9664 . . . . 5
103, 5readdcld 9644 . . . . . 6
1110rexrd 9664 . . . . 5
12 xrletr 11390 . . . . 5
138, 9, 11, 12syl3anc 1228 . . . 4
147, 13mpan2d 674 . . 3
1514ralrimdva 2875 . 2
16 rexr 9660 . . . . . . 7
1716adantl 466 . . . . . 6
18 simpl 457 . . . . . 6
19 qbtwnxr 11428 . . . . . . 7
20193expia 1198 . . . . . 6
2117, 18, 20syl2anc 661 . . . . 5
22 simprrl 765 . . . . . . . . 9
23 simplr 755 . . . . . . . . . 10
24 qre 11216 . . . . . . . . . . 11
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10
26 difrp 11282 . . . . . . . . . 10
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . . . 9
2822, 27mpbid 210 . . . . . . . 8
29 simprrr 766 . . . . . . . . . 10
3025rexrd 9664 . . . . . . . . . . 11
31 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
32 xrltnle 9674 . . . . . . . . . . 11
3330, 31, 32syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3429, 33mpbid 210 . . . . . . . . 9
3523recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
3625recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
3735, 36pncan3d 9957 . . . . . . . . . 10
3837breq2d 4464 . . . . . . . . 9
3934, 38mtbird 301 . . . . . . . 8
40 oveq2 6304 . . . . . . . . . . 11
4140breq2d 4464 . . . . . . . . . 10
4241notbid 294 . . . . . . . . 9
4342rspcev 3210 . . . . . . . 8
4428, 39, 43syl2anc 661 . . . . . . 7
45 rexnal 2905 . . . . . . 7
4644, 45sylib 196 . . . . . 6
4746rexlimdvaa 2950 . . . . 5
4821, 47syld 44 . . . 4
4948con2d 115 . . 3
50 xrlenlt 9673 . . . 4
5116, 50sylan2 474 . . 3
5249, 51sylibrd 234 . 2
5315, 52impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   caddc 9516   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   cq 11211   crp 11249
This theorem is referenced by:  alrple  11434  ovollb2  21900  ovolun  21910  ovoliun  21916  ovolscalem2  21925  nulmbl2  21947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-q 11212  df-rp 11250
  Copyright terms: Public domain W3C validator