MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltmin Unicode version

Theorem xrltmin 11412
Description: Two ways of saying an extended real is less than the minimum of two others. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.)
Assertion
Ref Expression
xrltmin

Proof of Theorem xrltmin
StepHypRef Expression
1 xrmin1 11407 . . . . 5
213adant1 1014 . . . 4
3 simp1 996 . . . . 5
4 ifcl 3983 . . . . . 6
543adant1 1014 . . . . 5
6 simp2 997 . . . . 5
7 xrltletr 11389 . . . . 5
83, 5, 6, 7syl3anc 1228 . . . 4
92, 8mpan2d 674 . . 3
10 xrmin2 11408 . . . . 5
11103adant1 1014 . . . 4
12 xrltletr 11389 . . . . 5
135, 12syld3an2 1275 . . . 4
1411, 13mpan2d 674 . . 3
159, 14jcad 533 . 2
16 breq2 4456 . . 3
17 breq2 4456 . . 3
1816, 17ifboth 3977 . 2
1915, 18impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  ifcif 3941   class class class wbr 4452   cxr 9648   clt 9649   cle 9650
This theorem is referenced by:  ltmin  11423  iooin  11592  blin  20924  lhop1  22415  ioondisj1  31526
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
  Copyright terms: Public domain W3C validator