MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnr Unicode version

Theorem xrltnr 11359
Description: The extended real 'less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltnr

Proof of Theorem xrltnr
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . 2
2 ltnr 9700 . . 3
3 pnfnre 9656 . . . . . . . . . 10
43neli 2792 . . . . . . . . 9
54intnan 914 . . . . . . . 8
65intnanr 915 . . . . . . 7
7 pnfnemnf 11355 . . . . . . . . 9
87neii 2656 . . . . . . . 8
98intnanr 915 . . . . . . 7
106, 9pm3.2ni 854 . . . . . 6
114intnanr 915 . . . . . . 7
124intnan 914 . . . . . . 7
1311, 12pm3.2ni 854 . . . . . 6
1410, 13pm3.2ni 854 . . . . 5
15 pnfxr 11350 . . . . . 6
16 ltxr 11353 . . . . . 6
1715, 15, 16mp2an 672 . . . . 5
1814, 17mtbir 299 . . . 4
19 breq12 4457 . . . . 5
2019anidms 645 . . . 4
2118, 20mtbiri 303 . . 3
22 mnfnre 9657 . . . . . . . . . 10
2322neli 2792 . . . . . . . . 9
2423intnan 914 . . . . . . . 8
2524intnanr 915 . . . . . . 7
267nesymi 2730 . . . . . . . 8
2726intnan 914 . . . . . . 7
2825, 27pm3.2ni 854 . . . . . 6
2923intnanr 915 . . . . . . 7
3023intnan 914 . . . . . . 7
3129, 30pm3.2ni 854 . . . . . 6
3228, 31pm3.2ni 854 . . . . 5
33 mnfxr 11352 . . . . . 6
34 ltxr 11353 . . . . . 6
3533, 33, 34mp2an 672 . . . . 5
3632, 35mtbir 299 . . . 4
37 breq12 4457 . . . . 5
3837anidms 645 . . . 4
3936, 38mtbiri 303 . . 3
402, 21, 393jaoi 1291 . 2
411, 40sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512   cltrr 9517   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649
This theorem is referenced by:  xrltnsym  11372  xrlttri  11374  nltpnft  11396  ngtmnft  11397  xrsupsslem  11527  xrinfmsslem  11528  xrub  11532  lbioo  11589  ubioo  11590  lbioc  31553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator