MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrltnsym Unicode version

Theorem xrltnsym 11372
Description: Ordering on the extended reals is not symmetric. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltnsym

Proof of Theorem xrltnsym
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . 2
2 elxr 11354 . 2
3 ltnsym 9704 . . . 4
4 rexr 9660 . . . . . . . 8
5 pnfnlt 11366 . . . . . . . 8
64, 5syl 16 . . . . . . 7
76adantr 465 . . . . . 6
8 breq1 4455 . . . . . . 7
98adantl 466 . . . . . 6
107, 9mtbird 301 . . . . 5
1110a1d 25 . . . 4
12 nltmnf 11367 . . . . . . . 8
134, 12syl 16 . . . . . . 7
1413adantr 465 . . . . . 6
15 breq2 4456 . . . . . . 7
1615adantl 466 . . . . . 6
1714, 16mtbird 301 . . . . 5
1817pm2.21d 106 . . . 4
193, 11, 183jaodan 1294 . . 3
20 pnfnlt 11366 . . . . . . 7
2120adantl 466 . . . . . 6
22 breq1 4455 . . . . . . 7
2322adantr 465 . . . . . 6
2421, 23mtbird 301 . . . . 5
2524pm2.21d 106 . . . 4
262, 25sylan2br 476 . . 3
27 rexr 9660 . . . . . . . 8
28 nltmnf 11367 . . . . . . . 8
2927, 28syl 16 . . . . . . 7
3029adantl 466 . . . . . 6
31 breq2 4456 . . . . . . 7
3231adantr 465 . . . . . 6
3330, 32mtbird 301 . . . . 5
3433a1d 25 . . . 4
35 mnfxr 11352 . . . . . . . 8
36 pnfnlt 11366 . . . . . . . 8
3735, 36ax-mp 5 . . . . . . 7
38 breq12 4457 . . . . . . 7
3937, 38mtbiri 303 . . . . . 6
4039ancoms 453 . . . . 5
4140a1d 25 . . . 4
42 xrltnr 11359 . . . . . . 7
4335, 42ax-mp 5 . . . . . 6
44 breq12 4457 . . . . . 6
4543, 44mtbiri 303 . . . . 5
4645pm2.21d 106 . . . 4
4734, 41, 463jaodan 1294 . . 3
4819, 26, 473jaoian 1293 . 2
491, 2, 48syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649
This theorem is referenced by:  xrltnsym2  11373  xrlttri  11374  xmullem2  11486  sgnp  12923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator