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Theorem xrlttr 11375
Description: Ordering on the extended reals is transitive. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlttr

Proof of Theorem xrlttr
StepHypRef Expression
1 elxr 11354 . 2
2 elxr 11354 . . 3
3 elxr 11354 . . . . . . . . 9
4 lttr 9682 . . . . . . . . . . . 12
543expa 1196 . . . . . . . . . . 11
65an32s 804 . . . . . . . . . 10
7 rexr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8 pnfnlt 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16
97, 8syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
109adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
11 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . 15
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
1310, 12mtbird 301 . . . . . . . . . . . . 13
1413pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12
1514adantll 713 . . . . . . . . . . 11
1615adantld 467 . . . . . . . . . 10
17 rexr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . 16
18 nltmnf 11367 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2019adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
21 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
2320, 22mtbird 301 . . . . . . . . . . . . 13
2423pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . 12
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
2625adantrd 468 . . . . . . . . . 10
276, 16, 263jaodan 1294 . . . . . . . . 9
283, 27sylan2b 475 . . . . . . . 8
2928an32s 804 . . . . . . 7
30 ltpnf 11360 . . . . . . . . . . 11
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10
32 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
3332adantl 466 . . . . . . . . . 10
3431, 33mpbird 232 . . . . . . . . 9
3534adantlr 714 . . . . . . . 8
3635a1d 25 . . . . . . 7
37 nltmnf 11367 . . . . . . . . . . . 12
3837adantr 465 . . . . . . . . . . 11
39 breq2 4456 . . . . . . . . . . . 12
4039adantl 466 . . . . . . . . . . 11
4138, 40mtbird 301 . . . . . . . . . 10
4241pm2.21d 106 . . . . . . . . 9
4342adantld 467 . . . . . . . 8
4443adantll 713 . . . . . . 7
4529, 36, 443jaodan 1294 . . . . . 6
4645anasss 647 . . . . 5
47 pnfnlt 11366 . . . . . . . . . 10
4847adantl 466 . . . . . . . . 9
49 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
5049adantr 465 . . . . . . . . 9
5148, 50mtbird 301 . . . . . . . 8
5251pm2.21d 106 . . . . . . 7
5352adantrd 468 . . . . . 6
5453adantrr 716 . . . . 5
55 mnflt 11362 . . . . . . . . . . 11
5655adantl 466 . . . . . . . . . 10
57 breq1 4455 . . . . . . . . . . 11
5857adantr 465 . . . . . . . . . 10
5956, 58mpbird 232 . . . . . . . . 9
6059a1d 25 . . . . . . . 8
6160adantlr 714 . . . . . . 7
62 mnfltpnf 11364 . . . . . . . . . 10
63 breq12 4457 . . . . . . . . . 10
6462, 63mpbiri 233 . . . . . . . . 9
6564a1d 25 . . . . . . . 8
6665adantlr 714 . . . . . . 7
6743adantll 713 . . . . . . 7
6861, 66, 673jaodan 1294 . . . . . 6
6968anasss 647 . . . . 5
7046, 54, 693jaoian 1293 . . . 4
71703impb 1192 . . 3
722, 71syl3an3b 1266 . 2
731, 72syl3an1b 1264 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649
This theorem is referenced by:  xrltso  11376  xrlelttr  11388  xrltletr  11389  xrlttrd  11391  xrub  11532  ioo0  11583  ioojoin  11680  leordtval2  19713  icopnfcld  21275  iocmnfcld  21276  ismbf3d  22061  tanord1  22924  tan2h  30047  asindmre  30102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654
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