MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrlttri Unicode version

Theorem xrlttri 11374
Description: Ordering on the extended reals satisfies strict trichotomy. New proofs should generally use this instead of ax-pre-lttri 9587 or axlttri 9677. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrlttri

Proof of Theorem xrlttri
StepHypRef Expression
1 xrltnr 11359 . . . . . . . 8
21adantr 465 . . . . . . 7
3 breq2 4456 . . . . . . . 8
43adantl 466 . . . . . . 7
52, 4mtbid 300 . . . . . 6
65ex 434 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
8 xrltnsym 11372 . . . . 5
98ancoms 453 . . . 4
107, 9jaod 380 . . 3
11 elxr 11354 . . . 4
12 elxr 11354 . . . 4
13 axlttri 9677 . . . . . . . 8
1413biimprd 223 . . . . . . 7
1514con1d 124 . . . . . 6
16 ltpnf 11360 . . . . . . . . 9
1716adantr 465 . . . . . . . 8
18 breq2 4456 . . . . . . . . 9
1918adantl 466 . . . . . . . 8
2017, 19mpbird 232 . . . . . . 7
2120pm2.24d 143 . . . . . 6
22 mnflt 11362 . . . . . . . . . 10
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
24 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
2524adantl 466 . . . . . . . . 9
2623, 25mpbird 232 . . . . . . . 8
2726olcd 393 . . . . . . 7
2827a1d 25 . . . . . 6
2915, 21, 283jaodan 1294 . . . . 5
30 ltpnf 11360 . . . . . . . . . 10
3130adantl 466 . . . . . . . . 9
32 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
3332adantr 465 . . . . . . . . 9
3431, 33mpbird 232 . . . . . . . 8
3534olcd 393 . . . . . . 7
3635a1d 25 . . . . . 6
37 eqtr3 2485 . . . . . . . 8
3837orcd 392 . . . . . . 7
3938a1d 25 . . . . . 6
40 mnfltpnf 11364 . . . . . . . . . 10
41 breq12 4457 . . . . . . . . . 10
4240, 41mpbiri 233 . . . . . . . . 9
4342ancoms 453 . . . . . . . 8
4443olcd 393 . . . . . . 7
4544a1d 25 . . . . . 6
4636, 39, 453jaodan 1294 . . . . 5
47 mnflt 11362 . . . . . . . . 9
4847adantl 466 . . . . . . . 8
49 breq1 4455 . . . . . . . . 9
5049adantr 465 . . . . . . . 8
5148, 50mpbird 232 . . . . . . 7
5251pm2.24d 143 . . . . . 6
53 breq12 4457 . . . . . . . 8
5440, 53mpbiri 233 . . . . . . 7
5554pm2.24d 143 . . . . . 6
56 eqtr3 2485 . . . . . . . 8
5756orcd 392 . . . . . . 7
5857a1d 25 . . . . . 6
5952, 55, 583jaodan 1294 . . . . 5
6029, 46, 593jaoian 1293 . . . 4
6111, 12, 60syl2anb 479 . . 3
6210, 61impbid 191 . 2
6362con2bid 329 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649
This theorem is referenced by:  xrltso  11376  xrleloe  11379  xrltlen  11381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654
  Copyright terms: Public domain W3C validator