MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrsmcmn Unicode version

Theorem xrsmcmn 18032
Description: The multiplicative group of the extended reals forms a commutative monoid (even though the additive group is not, see xrs1mnd 18044.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xrsmcmn

Proof of Theorem xrsmcmn
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5
2 xrsbas 18025 . . . . 5
31, 2mgpbas 16772 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 xrsmul 18027 . . . . 5
61, 5mgpplusg 16770 . . . 4
76a1i 11 . . 3
8 xmulcl 11375 . . . . 5
983adant1 1006 . . . 4
10 xmulass 11389 . . . . 5
1110adantl 466 . . . 4
12 1re 9522 . . . . 5
13 rexr 9566 . . . . 5
1412, 13mp1i 12 . . . 4
15 xmulid2 11382 . . . . 5
1615adantl 466 . . . 4
17 xmulid1 11381 . . . . 5
1817adantl 466 . . . 4
194, 7, 9, 11, 14, 16, 18ismndd 15603 . . 3
20 xmulcom 11368 . . . 4
21203adant1 1006 . . 3
224, 7, 19, 21iscmnd 16450 . 2
2322trud 1379 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\w3a 965  =wceq 1370   wtru 1371  e.wcel 1758  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cr 9418  1c1 9420   cxr 9554   cxmu 11227   cbs 14332   cplusg 14397   cxrs 14597   ccmn 16438   cmgp 16766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-1o 7054  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-fin 7448  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-3 10519  df-4 10520  df-5 10521  df-6 10522  df-7 10523  df-8 10524  df-9 10525  df-10 10526  df-n0 10718  df-z 10785  df-dec 10895  df-uz 11001  df-xneg 11228  df-xmul 11230  df-fz 11583  df-struct 14334  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-mulr 14411  df-tset 14416  df-ple 14417  df-ds 14419  df-xrs 14599  df-mnd 15574  df-cmn 16440  df-mgp 16767
  Copyright terms: Public domain W3C validator