Theorem xrsupss 11529

Description: Any subset of extended reals has a supremum. (Contributed by NM, 25-Oct-2005.)

Assertion

Ref	Expression
xrsupss

Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem xrsupss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrsupsslem 11527	. 2
2		ssdifss 3634	. . . 4
3		ssxr 9675	. . . . . 6
4		df-3or 974	. . . . . . 7
5		neldifsn 4157	. . . . . . . 8
6	5	biorfi 407	. . . . . . 7
7	4, 6	bitr4i 252	. . . . . 6
8	3, 7	sylib 196	. . . . 5
9		xrsupsslem 11527	. . . . 5
10	8, 9	mpdan 668	. . . 4
11	2, 10	syl 16	. . 3
12		xrsupexmnf 11525	. . . 4
13		snssi 4174	. . . . . 6
14		undif 3908	. . . . . . . 8
15		uncom 3647	. . . . . . . . 9
16	15	eqeq1i 2464	. . . . . . . 8
17	14, 16	bitri 249	. . . . . . 7
18		raleq 3054	. . . . . . . 8
19		rexeq 3055	. . . . . . . . . 10
20	19	imbi2d 316	. . . . . . . . 9
21	20	ralbidv 2896	. . . . . . . 8
22	18, 21	anbi12d 710	. . . . . . 7
23	17, 22	sylbi 195	. . . . . 6
24	13, 23	syl 16	. . . . 5
25	24	rexbidv 2968	. . . 4
26	12, 25	syl5ib 219	. . 3
27	11, 26	mpan9 469	. 2
28		ssxr 9675	. . 3
29		df-3or 974	. . 3
30	28, 29	sylib 196	. 2
31	1, 27, 30	mpjaodan 786	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  {csn 4029   class class class wbr 4452  cr 9512  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649

This theorem is referenced by:  supxrcl  11535  supxrun  11536  supxrunb1  11540  supxrunb2  11541  supxrub  11545  supxrlub  11546  xrsupssd  27579  xrsclat  27668  itg2addnclem  30066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831