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Theorem xrub 11532
Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrub
Distinct variable groups:   , ,   , ,

Proof of Theorem xrub
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . . 6
2 breq1 4455 . . . . . . 7
32rexbidv 2968 . . . . . 6
41, 3imbi12d 320 . . . . 5
54cbvralv 3084 . . . 4
6 elxr 11354 . . . . . . . 8
7 pm2.27 39 . . . . . . . . . 10
87a1i 11 . . . . . . . . 9
9 pnfnlt 11366 . . . . . . . . . . . . 13
10 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
1110notbid 294 . . . . . . . . . . . . 13
129, 11syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . 12
13 pm2.21 108 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13syl6com 35 . . . . . . . . . . 11
1514ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
1615a1dd 46 . . . . . . . . 9
17 elxr 11354 . . . . . . . . . . . . 13
18 peano2rem 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2120rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2219, 21imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2322rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2418, 23syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2524adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 ltm1 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2826, 27syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2928adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3018ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31 mnflt 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33 rexr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37 mnfxr 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38 xrlttr 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3937, 38mp3an1 1311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4034, 36, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4132, 40mpand 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4241reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4325, 29, 423syld 55 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14
45 1re 9616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4847rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4946, 48imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5145, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 ltpnf 11360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5345, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5553, 54mpbiri 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5755, 56syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
58 mnflt 11362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5945, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60 rexr 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6145, 60ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 xrlttr 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6337, 61, 62mp3an12 1314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6459, 63mpani 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6535, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6665reximdva 2932 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6757, 66sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6851, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968a1dd 46 . . . . . . . . . . . . . 14
70 xrltnr 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7137, 70ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72mtbiri 303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7473adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7574pm2.21d 106 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14
7744, 69, 763jaodan 1294 . . . . . . . . . . . . 13
7817, 77sylan2b 475 . . . . . . . . . . . 12
7978imp 429 . . . . . . . . . . 11
80 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
81 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
8281rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12
8380, 82imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11
8479, 83syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . 10
8584a1dd 46 . . . . . . . . 9
868, 16, 853jaod 1292 . . . . . . . 8
876, 86syl5bi 217 . . . . . . 7
8887com23 78 . . . . . 6
8988ralimdv2 2864 . . . . 5
9089ex 434 . . . 4
915, 90syl5bi 217 . . 3
9291pm2.43d 48 . 2
93 rexr 9660 . . . 4
9493imim1i 58 . . 3
9594ralimi2 2847 . 2
9692, 95impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  1c1 9514   cpnf 9646   cmnf 9647   cxr 9648   clt 9649   cmin 9828
This theorem is referenced by:  supxr  11533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831
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