Theorem xrub 11532

Description: By quantifying only over reals, we can specify any extended real upper bound for any set of extended reals. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrub

Distinct variable groups:   ,,   ,,

Proof of Theorem xrub

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 4455	. . . . . 6
2		breq1 4455	. . . . . . 7
3	2	rexbidv 2968	. . . . . 6
4	1, 3	imbi12d 320	. . . . 5
5	4	cbvralv 3084	. . . 4
6		elxr 11354	. . . . . . . 8
7		pm2.27 39	. . . . . . . . . 10
8	7	a1i 11	. . . . . . . . 9
9		pnfnlt 11366	. . . . . . . . . . . . 13
10		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . 14
11	10	notbid 294	. . . . . . . . . . . . 13
12	9, 11	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . 12
13		pm2.21 108	. . . . . . . . . . . 12
14	12, 13	syl6com 35	. . . . . . . . . . 11
15	14	ad2antlr 726	. . . . . . . . . 10
16	15	a1dd 46	. . . . . . . . 9
17		elxr 11354	. . . . . . . . . . . . 13
18		peano2rem 9909	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
19		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
20		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
21	20	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22	19, 21	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
23	22	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
24	18, 23	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
25	24	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
26		ltm1 10407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
27		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
28	26, 27	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
29	28	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
30	18	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
31		mnflt 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
33		rexr 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
34	30, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
35		ssel2 3498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
37		mnfxr 11352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
38		xrlttr 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
39	37, 38	mp3an1 1311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
40	34, 36, 39	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
41	32, 40	mpand 675	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
42	41	reximdva 2932	. . . . . . . . . . . . . . . 16
43	25, 29, 42	3syld 55	. . . . . . . . . . . . . . 15
44	43	a1dd 46	. . . . . . . . . . . . . 14
45		1re 9616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
47		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
48	47	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
49	46, 48	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
50	49	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
51	45, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16
52		ltpnf 11360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53	45, 52	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
54		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
55	53, 54	mpbiri 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
56		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57	55, 56	syl5com 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
58		mnflt 11362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59	45, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
60		rexr 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
61	45, 60	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62		xrlttr 11375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63	37, 61, 62	mp3an12 1314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
64	59, 63	mpani 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65	35, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66	65	reximdva 2932	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	57, 66	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	51, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	68	a1dd 46	. . . . . . . . . . . . . 14
70		xrltnr 11359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
71	37, 70	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
73	71, 72	mtbiri 303	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
74	73	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	pm2.21d 106	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14
77	44, 69, 76	3jaodan 1294	. . . . . . . . . . . . 13
78	17, 77	sylan2b 475	. . . . . . . . . . . 12
79	78	imp 429	. . . . . . . . . . 11
80		breq1 4455	. . . . . . . . . . . 12
81		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . 13
82	81	rexbidv 2968	. . . . . . . . . . . 12
83	80, 82	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11
84	79, 83	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . 10
85	84	a1dd 46	. . . . . . . . 9
86	8, 16, 85	3jaod 1292	. . . . . . . 8
87	6, 86	syl5bi 217	. . . . . . 7
88	87	com23 78	. . . . . 6
89	88	ralimdv2 2864	. . . . 5
90	89	ex 434	. . . 4
91	5, 90	syl5bi 217	. . 3
92	91	pm2.43d 48	. 2
93		rexr 9660	. . . 4
94	93	imim1i 58	. . 3
95	94	ralimi2 2847	. 2
96	92, 95	impbid1 203	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cr 9512  1c1 9514  cpnf 9646  cmnf 9647  cxr 9648  clt 9649  cmin 9828

This theorem is referenced by:  supxr  11533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831