MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zaddcl Unicode version

Theorem zaddcl 10929
Description: Closure of addition of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zaddcl

Proof of Theorem zaddcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elz2 10906 . 2
2 elz2 10906 . 2
3 reeanv 3025 . . 3
4 reeanv 3025 . . . . 5
5 nnaddcl 10583 . . . . . . . . . 10
65adantr 465 . . . . . . . . 9
7 nnaddcl 10583 . . . . . . . . . 10
87adantl 466 . . . . . . . . 9
9 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
10 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
119, 10anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
12 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
13 nncn 10569 . . . . . . . . . . . 12
1412, 13anim12i 566 . . . . . . . . . . 11
15 addsub4 9885 . . . . . . . . . . 11
1611, 14, 15syl2an 477 . . . . . . . . . 10
1716eqcomd 2465 . . . . . . . . 9
18 rspceov 6336 . . . . . . . . 9
196, 8, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . . 8
20 elz2 10906 . . . . . . . 8
2119, 20sylibr 212 . . . . . . 7
22 oveq12 6305 . . . . . . . 8
2322eleq1d 2526 . . . . . . 7
2421, 23syl5ibrcom 222 . . . . . 6
2524rexlimdvva 2956 . . . . 5
264, 25syl5bir 218 . . . 4
2726rexlimivv 2954 . . 3
283, 27sylbir 213 . 2
291, 2, 28syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  E.wrex 2808  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmin 9828   cn 10561   cz 10889
This theorem is referenced by:  peano2z  10930  zsubcl  10931  zrevaddcl  10934  zdivadd  10959  uzindOLD  10982  zaddcld  10998  eluzaddi  11136  eluzsubi  11137  nn0pzuz  11167  fzen  11732  fzaddel  11747  fzrev3  11774  fzrevral3  11794  elfzmlbp  11815  fzoaddel  11873  zpnn0elfzo  11888  elfzomelpfzo  11914  fzoshftral  11923  ccatsymb  12600  swrdccatin2  12712  revccat  12740  2cshw  12781  cshweqrep  12789  2cshwcshw  12793  cshwcsh2id  12796  cshco  12802  climshftlem  13397  isershft  13486  iseraltlem2  13505  fsumzcl  13557  dvds2ln  14014  dvds2add  14015  dvdsadd  14024  dvdsadd2b  14028  divalglem2  14053  ndvdsadd  14066  gcdaddmlem  14166  opoe  14335  opeo  14337  pythagtriplem9  14348  gzaddcl  14455  mod2xnegi  14557  cshwshashlem2  14581  cycsubgcl  16227  efgredleme  16761  zaddablx  16876  pgpfac1lem2  17126  zsubrg  18471  zringmulg  18496  zrngmulg  18503  expghm  18529  expghmOLD  18530  mulgghm2  18531  mulgghm2OLD  18534  cygznlem3  18608  iaa  22721  dchrisumlem1  23674  axlowdimlem16  24260  clwwisshclwwlem1  24805  gxnn0add  25276  gxadd  25277  zaddsubgo  25356  ballotlemsima  28454  zrisefaccl  29142  fzadd2  30234  mzpclall  30659  mzpindd  30678  rmxyadd  30857  jm2.18  30930  dvdsn1add  31736  stoweidlem34  31816  fourierswlem  32013  2elfz2melfz  32334  2zrngamgm  32745  inductionexd  37967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator