MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zeo Unicode version

Theorem zeo 10973
Description: An integer is even or odd. (Contributed by NM, 1-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
zeo

Proof of Theorem zeo
StepHypRef Expression
1 elz 10891 . . 3
2 oveq1 6303 . . . . . . 7
3 2cn 10631 . . . . . . . . 9
4 2ne0 10653 . . . . . . . . 9
53, 4div0i 10303 . . . . . . . 8
6 0z 10900 . . . . . . . 8
75, 6eqeltri 2541 . . . . . . 7
82, 7syl6eqel 2553 . . . . . 6
98pm2.24d 143 . . . . 5
109adantl 466 . . . 4
11 nnz 10911 . . . . . . 7
1211con3i 135 . . . . . 6
13 nneo 10971 . . . . . . . 8
1413biimprd 223 . . . . . . 7
1514con1d 124 . . . . . 6
16 nnz 10911 . . . . . 6
1712, 15, 16syl56 34 . . . . 5
1817adantl 466 . . . 4
19 recn 9603 . . . . . . . . . . 11
20 divneg 10264 . . . . . . . . . . . 12
213, 4, 20mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11
2219, 21syl 16 . . . . . . . . . 10
2322eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
24 nnnegz 10892 . . . . . . . . 9
2523, 24syl6bir 229 . . . . . . . 8
2619halfcld 10808 . . . . . . . . . 10
2726negnegd 9945 . . . . . . . . 9
2827eleq1d 2526 . . . . . . . 8
2925, 28sylibd 214 . . . . . . 7
3029adantr 465 . . . . . 6
3130con3d 133 . . . . 5
32 nneo 10971 . . . . . . . 8
3332biimprd 223 . . . . . . 7
3433con1d 124 . . . . . 6
35 nnz 10911 . . . . . . 7
36 peano2zm 10932 . . . . . . . . . 10
37 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3837, 3negsubdi2i 9929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
39 2m1e1 10675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4038, 39eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4137, 3subcli 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4237, 41negcon2i 9925 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4340, 42mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4443oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 negcl 9843 . . . . . . . . . . . . . . . 16
46 addsubass 9853 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4737, 3, 46mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 negdi 9899 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5037, 49mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . 15
5144, 48, 503eqtr4a 2524 . . . . . . . . . . . . . 14
5251oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
53 peano2cn 9773 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5445, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 2cnne0 10775 . . . . . . . . . . . . . . . 16
56 divsubdir 10265 . . . . . . . . . . . . . . . 16
573, 55, 56mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . . 15
5854, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
59 2div2e1 10683 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . . 14
6258, 61syl6reqr 2517 . . . . . . . . . . . . 13
63 peano2cn 9773 . . . . . . . . . . . . . 14
64 divneg 10264 . . . . . . . . . . . . . . 15
653, 4, 64mp3an23 1316 . . . . . . . . . . . . . 14
6663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
6752, 62, 663eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12
6819, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11
6968eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
7036, 69syl5ib 219 . . . . . . . . 9
71 znegcl 10924 . . . . . . . . 9
7270, 71syl6 33 . . . . . . . 8
73 peano2re 9774 . . . . . . . . . . . 12
7473recnd 9643 . . . . . . . . . . 11
7574halfcld 10808 . . . . . . . . . 10
7675negnegd 9945 . . . . . . . . 9
7776eleq1d 2526 . . . . . . . 8
7872, 77sylibd 214 . . . . . . 7
7935, 78syl5 32 . . . . . 6
8034, 79sylan9r 658 . . . . 5
8131, 80syld 44 . . . 4
8210, 18, 813jaodan 1294 . . 3
831, 82sylbi 195 . 2
8483orrd 378 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmin 9828  -ucneg 9829   cdiv 10231   cn 10561  2c2 10610   cz 10889
This theorem is referenced by:  zeo2  10974  iseralt  13507  abssinper  22911  atantayl2  23269  basellem3  23356  chtub  23487  lgseisenlem1  23624  sumnnodd  31636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator