MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zesq Unicode version

Theorem zesq 12289
Description: An integer is even iff its square is even. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
zesq

Proof of Theorem zesq
StepHypRef Expression
1 zcn 10894 . . . . . . 7
2 sqval 12227 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
43oveq1d 6311 . . . . 5
5 2cnd 10633 . . . . . 6
6 2ne0 10653 . . . . . . 7
76a1i 11 . . . . . 6
81, 1, 5, 7divassd 10380 . . . . 5
94, 8eqtrd 2498 . . . 4
109adantr 465 . . 3
11 zmulcl 10937 . . 3
1210, 11eqeltrd 2545 . 2
131adantr 465 . . . . . . . . . . 11
14 sqcl 12230 . . . . . . . . . . 11
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . 10
16 peano2cn 9773 . . . . . . . . . 10
1715, 16syl 16 . . . . . . . . 9
1817halfcld 10808 . . . . . . . 8
1918, 13pncand 9955 . . . . . . 7
20 binom21 12284 . . . . . . . . . . . . 13
2113, 20syl 16 . . . . . . . . . . . 12
22 peano2cn 9773 . . . . . . . . . . . . . 14
2313, 22syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
24 sqval 12227 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12
26 2cn 10631 . . . . . . . . . . . . . 14
27 mulcl 9597 . . . . . . . . . . . . . 14
2826, 13, 27sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
29 1cnd 9633 . . . . . . . . . . . . 13
3015, 28, 29add32d 9825 . . . . . . . . . . . 12
3121, 25, 303eqtr3d 2506 . . . . . . . . . . 11
3231oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
33 2cnd 10633 . . . . . . . . . . 11
346a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3523, 23, 33, 34divassd 10380 . . . . . . . . . 10
3617, 28, 33, 34divdird 10383 . . . . . . . . . . 11
3713, 33, 34divcan3d 10350 . . . . . . . . . . . 12
3837oveq2d 6312 . . . . . . . . . . 11
3936, 38eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
4032, 35, 393eqtr3d 2506 . . . . . . . . 9
41 peano2z 10930 . . . . . . . . . 10
42 zmulcl 10937 . . . . . . . . . 10
4341, 42sylan 471 . . . . . . . . 9
4440, 43eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8
45 simpl 457 . . . . . . . 8
4644, 45zsubcld 10999 . . . . . . 7
4719, 46eqeltrrd 2546 . . . . . 6
4847ex 434 . . . . 5
4948con3d 133 . . . 4
50 zsqcl 12238 . . . . 5
51 zeo2 10974 . . . . 5
5250, 51syl 16 . . . 4
53 zeo2 10974 . . . 4
5449, 52, 533imtr4d 268 . . 3
5554imp 429 . 2
5612, 55impbida 832 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296   cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   cmin 9828   cdiv 10231  2c2 10610   cz 10889   cexp 12166
This theorem is referenced by:  nnesq  12290  sqr2irrlem  13981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-seq 12108  df-exp 12167
  Copyright terms: Public domain W3C validator