Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zindd Unicode version

Theorem zindd 10990
 Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zindd.1
zindd.2
zindd.3
zindd.4
zindd.5
zindd.6
zindd.7
zindd.8
Assertion
Ref Expression
zindd
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,

Proof of Theorem zindd
StepHypRef Expression
1 znegcl 10924 . . . . . . 7
2 elznn0nn 10903 . . . . . . 7
31, 2sylib 196 . . . . . 6
4 simpr 461 . . . . . . 7
54orim2i 518 . . . . . 6
63, 5syl 16 . . . . 5
7 zcn 10894 . . . . . . . 8
87negnegd 9945 . . . . . . 7
98eleq1d 2526 . . . . . 6
109orbi2d 701 . . . . 5
116, 10mpbid 210 . . . 4
12 zindd.1 . . . . . . . 8
1312imbi2d 316 . . . . . . 7
14 zindd.2 . . . . . . . 8
1514imbi2d 316 . . . . . . 7
16 zindd.3 . . . . . . . 8
1716imbi2d 316 . . . . . . 7
18 zindd.4 . . . . . . . 8
1918imbi2d 316 . . . . . . 7
20 zindd.6 . . . . . . 7
21 zindd.7 . . . . . . . . 9
2221com12 31 . . . . . . . 8
2322a2d 26 . . . . . . 7
2413, 15, 17, 19, 20, 23nn0ind 10984 . . . . . 6
2524com12 31 . . . . 5
26 nnnn0 10827 . . . . . . . 8
2713, 15, 17, 15, 20, 23nn0ind 10984 . . . . . . . 8
2826, 27syl 16 . . . . . . 7
2928com12 31 . . . . . 6
30 zindd.8 . . . . . 6
3129, 30mpdd 40 . . . . 5
3225, 31jaod 380 . . . 4
3311, 32syl5 32 . . 3
3433ralrimiv 2869 . 2
35 znegcl 10924 . . . . 5
36 negeq 9835 . . . . . . . . 9
37 zcn 10894 . . . . . . . . . 10
3837negnegd 9945 . . . . . . . . 9
3936, 38sylan9eqr 2520 . . . . . . . 8
4039eqcomd 2465 . . . . . . 7
4140, 18syl 16 . . . . . 6
4241bicomd 201 . . . . 5
4335, 42rspcdv 3213 . . . 4
4443com12 31 . . 3
4544ralrimiv 2869 . 2
46 zindd.5 . . 3
4746rspccv 3207 . 2
4834, 45, 473syl 20 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516  -ucneg 9829   cn 10561   cn0 10820   cz 10889 This theorem is referenced by:  efexp  13836  pcexp  14383  mulgneg2  16169  mulgass2  17247  cnfldmulg  18450  clmmulg  21593  gxcl  25267  gxcom  25271  gxinv  25272  gxid  25275  gxdi  25298  xrsmulgzz  27666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
 Copyright terms: Public domain W3C validator