Theorem zindd 10990

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1
zindd.2
zindd.3
zindd.4
zindd.5
zindd.6
zindd.7
zindd.8

Assertion

Ref	Expression
zindd

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,,

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 10924	. . . . . . 7
2		elznn0nn 10903	. . . . . . 7
3	1, 2	sylib 196	. . . . . 6
4		simpr 461	. . . . . . 7
5	4	orim2i 518	. . . . . 6
6	3, 5	syl 16	. . . . 5
7		zcn 10894	. . . . . . . 8
8	7	negnegd 9945	. . . . . . 7
9	8	eleq1d 2526	. . . . . 6
10	9	orbi2d 701	. . . . 5
11	6, 10	mpbid 210	. . . 4
12		zindd.1	. . . . . . . 8
13	12	imbi2d 316	. . . . . . 7
14		zindd.2	. . . . . . . 8
15	14	imbi2d 316	. . . . . . 7
16		zindd.3	. . . . . . . 8
17	16	imbi2d 316	. . . . . . 7
18		zindd.4	. . . . . . . 8
19	18	imbi2d 316	. . . . . . 7
20		zindd.6	. . . . . . 7
21		zindd.7	. . . . . . . . 9
22	21	com12 31	. . . . . . . 8
23	22	a2d 26	. . . . . . 7
24	13, 15, 17, 19, 20, 23	nn0ind 10984	. . . . . 6
25	24	com12 31	. . . . 5
26		nnnn0 10827	. . . . . . . 8
27	13, 15, 17, 15, 20, 23	nn0ind 10984	. . . . . . . 8
28	26, 27	syl 16	. . . . . . 7
29	28	com12 31	. . . . . 6
30		zindd.8	. . . . . 6
31	29, 30	mpdd 40	. . . . 5
32	25, 31	jaod 380	. . . 4
33	11, 32	syl5 32	. . 3
34	33	ralrimiv 2869	. 2
35		znegcl 10924	. . . . 5
36		negeq 9835	. . . . . . . . 9
37		zcn 10894	. . . . . . . . . 10
38	37	negnegd 9945	. . . . . . . . 9
39	36, 38	sylan9eqr 2520	. . . . . . . 8
40	39	eqcomd 2465	. . . . . . 7
41	40, 18	syl 16	. . . . . 6
42	41	bicomd 201	. . . . 5
43	35, 42	rspcdv 3213	. . . 4
44	43	com12 31	. . 3
45	44	ralrimiv 2869	. 2
46		zindd.5	. . 3
47	46	rspccv 3207	. 2
48	34, 45, 47	3syl 20	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  (class class class)co 6296  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  -ucneg 9829  cn 10561  cn0 10820  cz 10889

This theorem is referenced by:  efexp  13836  pcexp  14383  mulgneg2  16169  mulgass2  17247  cnfldmulg  18450  clmmulg  21593  gxcl  25267  gxcom  25271  gxinv  25272  gxid  25275  gxdi  25298  xrsmulgzz  27666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890