Theorem zmax 11208

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmax

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem zmax

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 9905	. . 3
2		zmin 11207	. . 3
3	1, 2	syl 16	. 2
4		zre 10893	. . . . . . 7
5		leneg 10080	. . . . . . 7
6	4, 5	sylan 471	. . . . . 6
7	6	ancoms 453	. . . . 5
8		znegcl 10924	. . . . . . . . . 10
9		breq1 4455	. . . . . . . . . . . 12
10		breq1 4455	. . . . . . . . . . . 12
11	9, 10	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11
12	11	rspcv 3206	. . . . . . . . . 10
13	8, 12	syl 16	. . . . . . . . 9
14		zre 10893	. . . . . . . . . . . . 13
15		lenegcon1 10081	. . . . . . . . . . . . . . 15
16	15	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . . 14
17		lenegcon1 10081	. . . . . . . . . . . . . . . 16
18	4, 17	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15
19	18	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . . 14
20	16, 19	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . . 13
21	14, 20	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
22	21	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11
23	22	ex 434	. . . . . . . . . 10
24	23	com23 78	. . . . . . . . 9
25	13, 24	syld 44	. . . . . . . 8
26	25	com13 80	. . . . . . 7
27	26	ralrimdv 2873	. . . . . 6
28		znegcl 10924	. . . . . . . . . 10
29		breq2 4456	. . . . . . . . . . . 12
30		breq2 4456	. . . . . . . . . . . 12
31	29, 30	imbi12d 320	. . . . . . . . . . 11
32	31	rspcv 3206	. . . . . . . . . 10
33	28, 32	syl 16	. . . . . . . . 9
34		zre 10893	. . . . . . . . . . . 12
35		leneg 10080	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	adantrr 716	. . . . . . . . . . . . 13
37		leneg 10080	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	4, 37	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	adantrl 715	. . . . . . . . . . . . 13
40	36, 39	imbi12d 320	. . . . . . . . . . . 12
41	34, 40	sylan 471	. . . . . . . . . . 11
42	41	exbiri 622	. . . . . . . . . 10
43	42	com23 78	. . . . . . . . 9
44	33, 43	syld 44	. . . . . . . 8
45	44	com13 80	. . . . . . 7
46	45	ralrimdv 2873	. . . . . 6
47	27, 46	impbid 191	. . . . 5
48	7, 47	anbi12d 710	. . . 4
49	48	reubidva 3041	. . 3
50		znegcl 10924	. . . 4
51		znegcl 10924	. . . . 5
52		zcn 10894	. . . . . 6
53		zcn 10894	. . . . . 6
54		negcon2 9895	. . . . . 6
55	52, 53, 54	syl2an 477	. . . . 5
56	51, 55	reuhyp 4680	. . . 4
57		breq2 4456	. . . . 5
58		breq1 4455	. . . . . . 7
59	58	imbi2d 316	. . . . . 6
60	59	ralbidv 2896	. . . . 5
61	57, 60	anbi12d 710	. . . 4
62	50, 56, 61	reuxfr 4678	. . 3
63	49, 62	syl6rbbr 264	. 2
64	3, 63	mpbid 210	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E!wreu 2809   class class class wbr 4452  cc 9511  cr 9512  cle 9650  -ucneg 9829  cz 10889

This theorem is referenced by:  flval2  11950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111