Theorem zmulcl 10937

Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by NM, 30-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zmulcl

Proof of Theorem zmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elznn0 10904	. 2
2		elznn0 10904	. 2
3		nn0mulcl 10857	. . . . . . . . 9
4	3	orcd 392	. . . . . . . 8
5	4	a1i 11	. . . . . . 7
6		remulcl 9598	. . . . . . 7
7	5, 6	jctild 543	. . . . . 6
8		nn0mulcl 10857	. . . . . . . . 9
9		recn 9603	. . . . . . . . . . 11
10		recn 9603	. . . . . . . . . . 11
11		mulneg1 10018	. . . . . . . . . . 11
12	9, 10, 11	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
13	12	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
14	8, 13	syl5ib 219	. . . . . . . 8
15		olc 384	. . . . . . . 8
16	14, 15	syl6 33	. . . . . . 7
17	16, 6	jctild 543	. . . . . 6
18		nn0mulcl 10857	. . . . . . . . 9
19		mulneg2 10019	. . . . . . . . . . 11
20	9, 10, 19	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
21	20	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
22	18, 21	syl5ib 219	. . . . . . . 8
23	22, 15	syl6 33	. . . . . . 7
24	23, 6	jctild 543	. . . . . 6
25		nn0mulcl 10857	. . . . . . . . 9
26		mul2neg 10021	. . . . . . . . . . 11
27	9, 10, 26	syl2an 477	. . . . . . . . . 10
28	27	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
29	25, 28	syl5ib 219	. . . . . . . 8
30		orc 385	. . . . . . . 8
31	29, 30	syl6 33	. . . . . . 7
32	31, 6	jctild 543	. . . . . 6
33	7, 17, 24, 32	ccased 947	. . . . 5
34		elznn0 10904	. . . . 5
35	33, 34	syl6ibr 227	. . . 4
36	35	imp 429	. . 3
37	36	an4s 826	. 2
38	1, 2, 37	syl2anb 479	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  cmul 9518  -ucneg 9829  cn0 10820  cz 10889

This theorem is referenced by:  zdivmul  10960  msqznn  10969  zmulcld  11000  uz2mulcl  11188  qaddcl  11227  qmulcl  11229  qreccl  11231  fzctr  11816  flmulnn0  11960  zexpcl  12181  iexpcyc  12272  zesq  12289  cshweqrep  12789  fprodzcl  13761  dvdsmul1  14005  dvdsmul2  14006  muldvds1  14008  muldvds2  14009  dvdscmul  14010  dvdsmulc  14011  dvdscmulr  14012  dvdsmulcr  14013  dvds2ln  14014  dvdstr  14018  dvdsmultr1  14019  dvdsmultr2  14021  oexpneg  14049  divalglem0  14051  divalglem2  14053  divalglem4  14054  divalglem8  14058  divalgb  14062  divalgmod  14064  ndvdsi  14068  gcdaddmlem  14166  absmulgcd  14185  gcdmultiple  14188  gcdmultiplez  14189  dvdsmulgcd  14192  rpmulgcd  14193  coprmdvds  14243  rpmul  14264  eulerthlem2  14312  modprminv  14326  modprminveq  14327  modprm0  14330  pythagtriplem4  14343  pcpremul  14367  pcmul  14375  gzmulcl  14456  pgpfac1lem2  17126  zsubrg  18471  dvdsrzring  18507  dvdsrz  18508  mulgrhm  18532  mulgrhmOLD  18535  domnchr  18569  znfld  18599  znunit  18602  mbfi1fseqlem5  22126  dvexp3  22379  basellem2  23355  basellem5  23358  dvdsflf1o  23463  chtub  23487  bposlem1  23559  bposlem5  23563  bposlem6  23564  lgslem3  23573  lgsval4a  23593  lgsneg  23594  lgsdir2  23603  lgsdchr  23623  lgseisenlem1  23624  lgseisenlem2  23625  lgseisenlem3  23626  lgsquadlem1  23629  lgsquad2lem2  23634  chebbnd1lem1  23654  chebbnd1lem3  23656  gxnn0mul  25279  zrisefaccl  29142  zfallfaccl  29143  fzmul  30233  mzpclall  30659  mzpindd  30678  acongrep  30918  acongeq  30921  jm2.18  30930  jm2.21  30936  jm2.26a  30942  jm2.26  30944  jm2.16nn0  30946  jm2.27a  30947  jm2.27c  30949  jm3.1lem3  30961  lcmcllem  31202  fourierswlem  32013  2zrngmmgm  32752  zlmodzxzequa  33097  zlmodzxzequap  33100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890