MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcl Unicode version

Theorem znegcl 10924
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 10891 . 2
2 negeq 9835 . . . . . 6
3 neg0 9888 . . . . . 6
42, 3syl6eq 2514 . . . . 5
5 0z 10900 . . . . 5
64, 5syl6eqel 2553 . . . 4
7 nnnegz 10892 . . . 4
8 nnz 10911 . . . 4
96, 7, 83jaoi 1291 . . 3
109adantl 466 . 2
111, 10sylbi 195 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  e.wcel 1818   cr 9512  0cc0 9513  -ucneg 9829   cn 10561   cz 10889
This theorem is referenced by:  znegclb  10926  nn0negz  10927  zsubcl  10931  zeo  10973  zindd  10990  znegcld  10996  zriotaneg  11002  uzneg  11128  zmax  11208  rebtwnz  11210  qnegcl  11228  fzsubel  11748  fzosubel  11875  ceilid  11978  modcyc2  12032  expsub  12213  seqshft  12918  climshft  13399  znnenlem  13945  negdvdsb  14000  dvdsnegb  14001  dvdssub  14026  odd2np1  14046  divalglem6  14056  bitscmp  14088  gcdneg  14164  neggcd  14165  gcdaddmlem  14166  gcdabs  14171  mulgneg2  16169  mulgsubdir  16173  cycsubgcl  16227  zaddablx  16876  cyggeninv  16886  zsubrg  18471  zringmulg  18496  zrngmulg  18503  zringinvg  18519  aaliou3lem9  22746  sinperlem  22873  wilthlem3  23344  basellem3  23356  basellem4  23357  basellem8  23361  basellem9  23362  lgsneg  23594  lgsdir2lem4  23601  lgsdir2lem5  23602  ex-fl  25168  gxneg  25268  gxcom  25271  gxsub  25278  gxmul  25280  zaddsubgo  25356  pell1234qrdich  30797  rmxyneg  30856  monotoddzzfi  30878  monotoddzz  30879  oddcomabszz  30880  jm2.24  30901  acongtr  30916  fzneg  30920  jm2.26a  30942  lcmneg  31209  neglcm  31210  lcmabs  31211  cosknegpi  31669  0nodd  32498  2zrngagrp  32749  zlmodzxzequap  33100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator