Theorem zneo 10970

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 31-Jul-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
zneo

Proof of Theorem zneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 10966	. . 3
2		2cn 10631	. . . . . . 7
3		zcn 10894	. . . . . . . 8
4	3	adantr 465	. . . . . . 7
5		mulcl 9597	. . . . . . 7
6	2, 4, 5	sylancr 663	. . . . . 6
7		zcn 10894	. . . . . . . 8
8	7	adantl 466	. . . . . . 7
9		mulcl 9597	. . . . . . 7
10	2, 8, 9	sylancr 663	. . . . . 6
11		1cnd 9633	. . . . . 6
12	6, 10, 11	subaddd 9972	. . . . 5
13	2	a1i 11	. . . . . . . . . 10
14	13, 4, 8	subdid 10037	. . . . . . . . 9
15	14	oveq1d 6311	. . . . . . . 8
16		zsubcl 10931	. . . . . . . . . 10
17		zcn 10894	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	syl 16	. . . . . . . . 9
19		2ne0 10653	. . . . . . . . . 10
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9
21	18, 13, 20	divcan3d 10350	. . . . . . . 8
22	15, 21	eqtr3d 2500	. . . . . . 7
23	22, 16	eqeltrd 2545	. . . . . 6
24		oveq1 6303	. . . . . . 7
25	24	eleq1d 2526	. . . . . 6
26	23, 25	syl5ibcom 220	. . . . 5
27	12, 26	sylbird 235	. . . 4
28	27	necon3bd 2669	. . 3
29	1, 28	mpi 17	. 2
30	29	necomd 2728	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  (class class class)co 6296  cc 9511  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  cmul 9518  cmin 9828  cdiv 10231  2c2 10610  cz 10889

This theorem is referenced by:  nneo  10971  zeo2  10974  znnenlem  13945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890