MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn Unicode version

Theorem zorn 8908
Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 8907 for a version with general partial orderings. (Contributed by NM, 12-Aug-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
zornn0.1
Assertion
Ref Expression
zorn
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem zorn
StepHypRef Expression
1 zornn0.1 . . 3
2 numth3 8871 . . 3
31, 2ax-mp 5 . 2
4 zorng 8905 . 2
53, 4mpan 670 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  C.wpss 3476  U.cuni 4249  Orwor 4804  domcdm 5004   crpss 6579   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  alexsubALTlem2  20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-rpss 6580  df-recs 7061  df-en 7537  df-card 8341  df-ac 8518
  Copyright terms: Public domain W3C validator