Theorem zorn2lem1 8897

Description: Lemma for zorn2 8907. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3
zorn2lem.4
zorn2lem.5

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem1

Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,,   ,,,,,,   ,,,,,,,   ,

Proof of Theorem zorn2lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . 5
2	1	tfr2 7086	. . . 4
3	2	adantr 465	. . 3
4	1	tfr1 7085	. . . . . 6
5		fnfun 5683	. . . . . 6
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5
7		vex 3112	. . . . 5
8		resfunexg 6137	. . . . 5
9	6, 7, 8	mp2an 672	. . . 4
10		rneq 5233	. . . . . . . . . . . 12
11		df-ima 5017	. . . . . . . . . . . 12
12	10, 11	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . 11
13	12	eleq2d 2527	. . . . . . . . . 10
14	13	imbi1d 317	. . . . . . . . 9
15	14	ralbidv2 2892	. . . . . . . 8
16	15	rabbidv 3101	. . . . . . 7
17		zorn2lem.4	. . . . . . 7
18		zorn2lem.5	. . . . . . 7
19	16, 17, 18	3eqtr4g 2523	. . . . . 6
20	19	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
21	20	imbi1d 317	. . . . . . 7
22	21	ralbidv2 2892	. . . . . 6
23	19, 22	riotaeqbidv 6260	. . . . 5
24		eqid 2457	. . . . 5
25		riotaex 6261	. . . . 5
26	23, 24, 25	fvmpt 5956	. . . 4
27	9, 26	ax-mp 5	. . 3
28	3, 27	syl6eq 2514	. 2
29		simprl 756	. . . 4
30		weso 4875	. . . . . . 7
31	30	ad2antrl 727	. . . . . 6
32		vex 3112	. . . . . 6
33		soex 6743	. . . . . 6
34	31, 32, 33	sylancl 662	. . . . 5
35	18, 34	rabexd 4604	. . . 4
36		ssrab2 3584	. . . . . 6
37	18, 36	eqsstri 3533	. . . . 5
38	37	a1i 11	. . . 4
39		simprr 757	. . . 4
40		wereu 4880	. . . 4
41	29, 35, 38, 39, 40	syl13anc 1230	. . 3
42		riotacl 6272	. . 3
43	41, 42	syl 16	. 2
44	28, 43	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E!wreu 2809  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  Wewwe 4842  con0 4883  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  iota_crio 6256  recscrecs 7060

This theorem is referenced by:  zorn2lem2  8898  zorn2lem3  8899  zorn2lem4  8900  zorn2lem5  8901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061