MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zorn2lem4 Unicode version

Theorem zorn2lem4 8900
Description: Lemma for zorn2 8907. (Contributed by NM, 3-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3
zorn2lem.4
zorn2lem.5
Assertion
Ref Expression
zorn2lem4
Distinct variable groups:   , , , , , , ,   , , ,   , , , , , ,   , , , , , , ,   ,

Proof of Theorem zorn2lem4
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 882 . 2
2 df-ne 2654 . . . . 5
32ralbii 2888 . . . 4
4 df-ral 2812 . . . 4
5 ralnex 2903 . . . 4
63, 4, 53bitr3i 275 . . 3
7 weso 4875 . . . . . . . . 9
87adantr 465 . . . . . . . 8
9 vex 3112 . . . . . . . 8
10 soex 6743 . . . . . . . 8
118, 9, 10sylancl 662 . . . . . . 7
12 zorn2lem.3 . . . . . . . . . . 11
1312tfr1 7085 . . . . . . . . . 10
14 fvelrnb 5920 . . . . . . . . . 10
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9
16 nfv 1707 . . . . . . . . . . 11
17 nfa1 1897 . . . . . . . . . . 11
1816, 17nfan 1928 . . . . . . . . . 10
19 nfv 1707 . . . . . . . . . 10
20 zorn2lem.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
21 ssrab2 3584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2220, 21eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
23 zorn2lem.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2412, 23, 20zorn2lem1 8897 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2522, 24sseldi 3501 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2725, 26syl5ibcom 220 . . . . . . . . . . . . . . 15
2827exp32 605 . . . . . . . . . . . . . 14
2928com12 31 . . . . . . . . . . . . 13
3029a2d 26 . . . . . . . . . . . 12
3130spsd 1867 . . . . . . . . . . 11
3231imp 429 . . . . . . . . . 10
3318, 19, 32rexlimd 2941 . . . . . . . . 9
3415, 33syl5bi 217 . . . . . . . 8
3534ssrdv 3509 . . . . . . 7
3611, 35ssexd 4599 . . . . . 6
3736ex 434 . . . . 5
3837adantl 466 . . . 4
3912, 23, 20zorn2lem3 8899 . . . . . . . . . . . . . 14
4039exp45 614 . . . . . . . . . . . . 13
4140com23 78 . . . . . . . . . . . 12
4241imp 429 . . . . . . . . . . 11
4342a2d 26 . . . . . . . . . 10
4443imp4a 589 . . . . . . . . 9
4544alrimdv 1721 . . . . . . . 8
4645alimdv 1709 . . . . . . 7
47 r2al 2835 . . . . . . 7
4846, 47syl6ibr 227 . . . . . 6
49 ssid 3522 . . . . . . . 8
5013tz7.48lem 7125 . . . . . . . 8
5149, 50mpan 670 . . . . . . 7
52 fnrel 5684 . . . . . . . . . . 11
5313, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
54 fndm 5685 . . . . . . . . . . . 12
5513, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
5655eqimssi 3557 . . . . . . . . . 10
57 relssres 5316 . . . . . . . . . 10
5853, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . 9
5958cnveqi 5182 . . . . . . . 8
6059funeqi 5613 . . . . . . 7
6151, 60sylib 196 . . . . . 6
6248, 61syl6 33 . . . . 5
63 onprc 6620 . . . . . 6
64 funrnex 6767 . . . . . . . 8
6564com12 31 . . . . . . 7
66 df-rn 5015 . . . . . . . 8
6766eleq1i 2534 . . . . . . 7
68 dfdm4 5200 . . . . . . . . 9
6955, 68eqtr3i 2488 . . . . . . . 8
7069eleq1i 2534 . . . . . . 7
7165, 67, 703imtr4g 270 . . . . . 6
7263, 71mtoi 178 . . . . 5
7362, 72syl6 33 . . . 4
7438, 73jcad 533 . . 3
756, 74syl5bir 218 . 2
761, 75mt3i 126 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Powpo 4803  Orwor 4804  Wewwe 4842   con0 4883  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Relwrel 5009  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  iota_crio 6256  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  8903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061
  Copyright terms: Public domain W3C validator