Theorem zorn2lem5 8901

Description: Lemma for zorn2 8907. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.3
zorn2lem.4
zorn2lem.5
zorn2lem.7

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem5

Distinct variable groups:   ,,,,,,,,   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,,   ,   ,,,,

Proof of Theorem zorn2lem5

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zorn2lem.3	. . . . . 6
2	1	tfr1 7085	. . . . 5
3		fnfun 5683	. . . . 5
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4
5		fvelima 5925	. . . 4
6	4, 5	mpan 670	. . 3
7		nfv 1707	. . . . 5
8		nfra1 2838	. . . . 5
9	7, 8	nfan 1928	. . . 4
10		nfv 1707	. . . 4
11		df-ral 2812	. . . . . 6
12		onelon 4908	. . . . . . . . . . . . 13
13		zorn2lem.7	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		ssrab2 3584	. . . . . . . . . . . . . . . 16
15	13, 14	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . . . 15
16		zorn2lem.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	1, 16, 13	zorn2lem1 8897	. . . . . . . . . . . . . . 15
18	15, 17	sseldi 3501	. . . . . . . . . . . . . 14
19		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . 14
20	18, 19	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . 13
21	12, 20	sylani 654	. . . . . . . . . . . 12
22	21	com12 31	. . . . . . . . . . 11
23	22	exp43 612	. . . . . . . . . 10
24	23	com3r 79	. . . . . . . . 9
25	24	imp 429	. . . . . . . 8
26	25	a2d 26	. . . . . . 7
27	26	spsd 1867	. . . . . 6
28	11, 27	syl5bi 217	. . . . 5
29	28	imp 429	. . . 4
30	9, 10, 29	rexlimd 2941	. . 3
31	6, 30	syl5 32	. 2
32	31	ssrdv 3509	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Wewwe 4842  con0 4883  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  iota_crio 6256  recscrecs 7060

This theorem is referenced by:  zorn2lem6  8902  zorn2lem7  8903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061