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Theorem zorn2lem6 8902
Description: Lemma for zorn2 8907. (Contributed by NM, 4-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3
zorn2lem.4
zorn2lem.5
zorn2lem.7
Assertion
Ref Expression
zorn2lem6
Distinct variable groups:   , , , , , , , ,   , , , ,   , , , , , , ,   , , , , , , , ,   ,   , , , ,

Proof of Theorem zorn2lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zorn2lem.3 . . . . . 6
2 zorn2lem.4 . . . . . 6
3 zorn2lem.5 . . . . . 6
4 zorn2lem.7 . . . . . 6
51, 2, 3, 4zorn2lem5 8901 . . . . 5
6 poss 4807 . . . . 5
75, 6syl 16 . . . 4
87com12 31 . . 3
91tfr1 7085 . . . . . . . 8
10 fnfun 5683 . . . . . . . 8
11 fvelima 5925 . . . . . . . . . . 11
12 df-rex 2813 . . . . . . . . . . 11
1311, 12sylib 196 . . . . . . . . . 10
1413ex 434 . . . . . . . . 9
15 fvelima 5925 . . . . . . . . . . 11
16 df-rex 2813 . . . . . . . . . . 11
1715, 16sylib 196 . . . . . . . . . 10
1817ex 434 . . . . . . . . 9
1914, 18anim12d 563 . . . . . . . 8
209, 10, 19mp2b 10 . . . . . . 7
21 an4 824 . . . . . . . . 9
22212exbii 1668 . . . . . . . 8
23 eeanv 1988 . . . . . . . 8
2422, 23bitri 249 . . . . . . 7
2520, 24sylibr 212 . . . . . 6
264neeq1i 2742 . . . . . . . . . . 11
2726ralbii 2888 . . . . . . . . . 10
28 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . 15
2928raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . 14
3029rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . 13
3130neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12
3231rspccv 3207 . . . . . . . . . . 11
33 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . . 15
3433raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . . 14
3534rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . . 13
3635neeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12
3736rspccv 3207 . . . . . . . . . . 11
3832, 37anim12d 563 . . . . . . . . . 10
3927, 38sylbi 195 . . . . . . . . 9
40 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
41 onelon 4908 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4240, 41anim12dan 837 . . . . . . . . . . . . . . 15
4342ex 434 . . . . . . . . . . . . . 14
44 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45 eloni 4893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46 ordtri3or 4915 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4744, 45, 46syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
48 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
491, 2, 48zorn2lem2 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5049adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
51 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5251biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5350, 52syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5453com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5554adantrrl 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5655imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
57 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
58 eqeq12 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5957, 58syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
61 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
621, 2, 61zorn2lem2 8898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
64 breq12 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6564ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6665biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6763, 66syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6867com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6968adantrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7069imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7156, 60, 703orim123d 1307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7247, 71syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7372exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . 15
7473com4r 86 . . . . . . . . . . . . . 14
7543, 43, 74syl6c 64 . . . . . . . . . . . . 13
7675exp4a 606 . . . . . . . . . . . 12
7776com3r 79 . . . . . . . . . . 11
7877imp 429 . . . . . . . . . 10
7978a2d 26 . . . . . . . . 9
8039, 79syl5 32 . . . . . . . 8
8180imp4b 590 . . . . . . 7
8281exlimdvv 1725 . . . . . 6
8325, 82syl5 32 . . . . 5
8483ralrimivv 2877 . . . 4
8584a1i 11 . . 3
868, 85jcad 533 . 2
87 df-so 4806 . 2
8886, 87syl6ibr 227 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  \/w3o 972  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Powpo 4803  Orwor 4804  Wewwe 4842  Ordword 4882   con0 4883  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  iota_crio 6256  recscrecs 7060
This theorem is referenced by:  zorn2lem7  8903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-recs 7061
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