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Theorem zorn2lem7 8903
Description: Lemma for zorn2 8907. (Contributed by NM, 6-Apr-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zorn2lem.3
zorn2lem.4
zorn2lem.5
zorn2lem.7
Assertion
Ref Expression
zorn2lem7
Distinct variable groups:   , , , , , , , , , , , ,   , , , , , ,   , , , , , , , , , , ,   , , , , , , , , , , , ,   ,   , , , , , , , ,

Proof of Theorem zorn2lem7
StepHypRef Expression
1 ween 8437 . . 3
2 zorn2lem.3 . . . . . . . . 9
3 zorn2lem.4 . . . . . . . . 9
4 zorn2lem.5 . . . . . . . . 9
52, 3, 4zorn2lem4 8900 . . . . . . . 8
6 imaeq2 5338 . . . . . . . . . . . . . 14
76raleqdv 3060 . . . . . . . . . . . . 13
87rabbidv 3101 . . . . . . . . . . . 12
9 zorn2lem.7 . . . . . . . . . . . 12
108, 4, 93eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . 11
1110eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10
1211onminex 6642 . . . . . . . . 9
13 df-ne 2654 . . . . . . . . . . . 12
1413ralbii 2888 . . . . . . . . . . 11
1514anbi2i 694 . . . . . . . . . 10
1615rexbii 2959 . . . . . . . . 9
1712, 16sylibr 212 . . . . . . . 8
182, 3, 4, 9zorn2lem5 8901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
202, 3, 4, 9zorn2lem6 8902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2119, 20jcad 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
222tfr1 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
23 fnfun 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
24 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2524funimaex 5671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2622, 23, 25mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
27 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
28 soeq2 4825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2927, 28anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
30 raleq 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3130rexbidv 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3229, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3326, 32spcv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3421, 33sylan9 657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3534adantld 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3635imp 429 . . . . . . . . . . . . . . 15
37 noel 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3818sseld 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
39 3anass 977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
40 potr 4817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4139, 40sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4241expcomd 438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4342imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
44 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4544biimprcd 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4645adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4743, 46jaod 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4847exp42 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4938, 48sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5049com24 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5150com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5251imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5352a2d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5453ralimdv2 2864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
55 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5655cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
57 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5857ralbidv 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5958elrab 3257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
604eqeq1i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
61 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6260, 61sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6359, 62syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6463biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6564expdimp 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6656, 65syl5bi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6754, 66sylan9r 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6867exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6968com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
7069imp31 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7137, 70mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7271exp42 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
7372exp4a 606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
7473com34 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7574ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7675com4r 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7776pm2.43a 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7877impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7978com4l 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8079impd 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8180ralrimdv 2873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8281expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8382reximdvai 2929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8786imp32 433 . . . . . . . . . . . . . . 15
8836, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14
8988exp45 614 . . . . . . . . . . . . 13
9089com23 78 . . . . . . . . . . . 12
9190expdimp 437 . . . . . . . . . . 11
9291imp4a 589 . . . . . . . . . 10
9392com3l 81 . . . . . . . . 9
9493rexlimiv 2943 . . . . . . . 8
955, 17, 943syl 20 . . . . . . 7
9695adantlr 714 . . . . . 6
9796pm2.43i 47 . . . . 5
9897expcom 435 . . . 4
9998exlimiv 1722 . . 3
1001, 99sylbi 195 . 2
1011003impib 1194 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Powpo 4803  Orwor 4804  Wewwe 4842   con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  iota_crio 6256  recscrecs 7060   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  zorn2g  8904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-recs 7061  df-en 7537  df-card 8341
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