MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zornn0g Unicode version

Theorem zornn0g 8906
Description: Variant of Zorn's lemma zorng 8905 in which , the union of the empty chain, is not required to be an element of . (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jan-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 9-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
zornn0g
Distinct variable group:   , , ,

Proof of Theorem zornn0g
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . 2
2 simp1 996 . . . 4
3 snfi 7616 . . . . 5
4 finnum 8350 . . . . 5
53, 4ax-mp 5 . . . 4
6 unnum 8601 . . . 4
72, 5, 6sylancl 662 . . 3
8 uncom 3647 . . . . . . . . 9
98sseq2i 3528 . . . . . . . 8
10 ssundif 3911 . . . . . . . 8
119, 10bitri 249 . . . . . . 7
12 difss 3630 . . . . . . . . 9
13 soss 4823 . . . . . . . . 9
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8
15 ssdif0 3885 . . . . . . . . . . 11
16 uni0b 4274 . . . . . . . . . . . . 13
1716biimpri 206 . . . . . . . . . . . 12
1817eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
1915, 18sylbir 213 . . . . . . . . . 10
2019imbi2d 316 . . . . . . . . 9
21 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
22 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . 15
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
24 sseq1 3524 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25 neeq1 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16
26 soeq2 4825 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2724, 25, 263anbi123d 1299 . . . . . . . . . . . . . . 15
28 unieq 4257 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
3027, 29imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . 14
3123, 30spcv 3200 . . . . . . . . . . . . 13
3231com12 31 . . . . . . . . . . . 12
33323expa 1196 . . . . . . . . . . 11
3433an32s 804 . . . . . . . . . 10
35 unidif0 4625 . . . . . . . . . . . 12
3635eleq1i 2534 . . . . . . . . . . 11
37 elun1 3670 . . . . . . . . . . 11
3836, 37sylbi 195 . . . . . . . . . 10
3934, 38syl6 33 . . . . . . . . 9
40 0ex 4582 . . . . . . . . . . . 12
4140snid 4057 . . . . . . . . . . 11
42 elun2 3671 . . . . . . . . . . 11
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
4443a1ii 27 . . . . . . . . 9
4520, 39, 44pm2.61ne 2772 . . . . . . . 8
4614, 45sylan2 474 . . . . . . 7
4711, 46sylanb 472 . . . . . 6
4847com12 31 . . . . 5
4948alrimiv 1719 . . . 4
50493ad2ant3 1019 . . 3
51 zorng 8905 . . 3
527, 50, 51syl2anc 661 . 2
53 ssun1 3666 . . . . 5
54 ssralv 3563 . . . . 5
5553, 54ax-mp 5 . . . 4
5655reximi 2925 . . 3
57 rexun 3683 . . . 4
58 simpr 461 . . . . 5
59 simpr 461 . . . . . 6
60 psseq1 3590 . . . . . . . . . . . . 13
61 0pss 3864 . . . . . . . . . . . . 13
6260, 61syl6bb 261 . . . . . . . . . . . 12
6362notbid 294 . . . . . . . . . . 11
64 nne 2658 . . . . . . . . . . 11
6563, 64syl6bb 261 . . . . . . . . . 10
6665ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
6740, 66rexsn 4069 . . . . . . . 8
68 eqsn 4191 . . . . . . . . 9
6968biimpar 485 . . . . . . . 8
7067, 69sylan2b 475 . . . . . . 7
7170rexeqdv 3061 . . . . . 6
7259, 71mpbird 232 . . . . 5
7358, 72jaodan 785 . . . 4
7457, 73sylan2b 475 . . 3
7556, 74sylan2 474 . 2
761, 52, 75syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  C_wss 3475  C.wpss 3476   c0 3784  {csn 4029  U.cuni 4249  Orwor 4804  domcdm 5004   crpss 6579   cfn 7536   ccrd 8337
This theorem is referenced by:  zornn0  8909  pgpfac1lem5  17130  lbsextlem4  17807  filssufilg  20412
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-rpss 6580  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569
  Copyright terms: Public domain W3C validator