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Theorem zprod 13744
Description: Series product with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zprod.1
zprod.2
zprod.3
zprod.4
zprod.5
zprod.6
Assertion
Ref Expression
zprod
Distinct variable groups:   , , ,   , ,   ,   , , ,   ,M,   , ,   ,

Proof of Theorem zprod
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3simpb 994 . . . . . . . 8
2 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
3 nfv 1707 . . . . . . . . . . . . 13
4 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . 13
5 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . . 13
63, 4, 5nfif 3970 . . . . . . . . . . . 12
7 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . 13
8 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . . 12
102, 6, 9cbvmpt 4542 . . . . . . . . . . 11
11 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12
12 zprod.6 . . . . . . . . . . . . . 14
1312ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . 13
144nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . . 14
158eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14
1614, 15rspc 3204 . . . . . . . . . . . . 13
1713, 16syl5 32 . . . . . . . . . . . 12
1811, 17mpan9 469 . . . . . . . . . . 11
19 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
20 zprod.2 . . . . . . . . . . . 12
2120ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
22 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
23 zprod.4 . . . . . . . . . . . . 13
24 zprod.1 . . . . . . . . . . . . 13
2523, 24syl6sseq 3549 . . . . . . . . . . . 12
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
2710, 18, 19, 21, 22, 26prodrb 13739 . . . . . . . . . 10
2827biimpd 207 . . . . . . . . 9
2928expimpd 603 . . . . . . . 8
301, 29syl5 32 . . . . . . 7
3130rexlimdva 2949 . . . . . 6
32 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
33 zssre 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3432, 33sstri 3512 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3524, 34eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . 15
3623, 35syl6ss 3515 . . . . . . . . . . . . . 14
3736ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
38 ltso 9686 . . . . . . . . . . . . 13
39 soss 4823 . . . . . . . . . . . . 13
4037, 38, 39mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12
41 fzfi 12082 . . . . . . . . . . . . 13
42 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4342f1oen 7556 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
4544ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . 13
46 enfii 7757 . . . . . . . . . . . . 13
4741, 45, 46sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
48 fz1iso 12511 . . . . . . . . . . . 12
4940, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
50 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150, 17mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14
52 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 csbco 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5553, 54syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . . 14
57 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
5920ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
6025ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
61 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14
62 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
6310, 51, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62prodmolem2a 13741 . . . . . . . . . . . . 13
6463expr 615 . . . . . . . . . . . 12
6564exlimdv 1724 . . . . . . . . . . 11
6649, 65mpd 15 . . . . . . . . . 10
67 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
6866, 67syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
6968expimpd 603 . . . . . . . 8
7069exlimdv 1724 . . . . . . 7
7170rexlimdva 2949 . . . . . 6
7231, 71jaod 380 . . . . 5
7320adantr 465 . . . . . . . 8
7423adantr 465 . . . . . . . 8
75 zprod.3 . . . . . . . . . 10
7624eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . 12
77 eluzelz 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7877adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
79 uztrn 11126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8079ancoms 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8124eleq2i 2535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
82 zprod.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8324, 32eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8483sseli 3499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
85 iftrue 3947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
8685adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8786, 12eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8887ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
89 iffalse 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
90 ax-1cn 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9189, 90syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9288, 91pm2.61d1 159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
93 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9493fvmpt2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9584, 92, 94syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9682, 95eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
9781, 96sylan2br 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9897ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
99 nffvmpt1 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10099nfeq2 2636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
102 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
103101, 102eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104100, 103rspc 3204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10598, 104mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10680, 105sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
107106anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10878, 107seqfeq 12132 . . . . . . . . . . . . . . 15
109108breq1d 4462 . . . . . . . . . . . . . 14
110109anbi2d 703 . . . . . . . . . . . . 13
111110exbidv 1714 . . . . . . . . . . . 12
11276, 111sylan2b 475 . . . . . . . . . . 11
113112rexbidva 2965 . . . . . . . . . 10
11475, 113mpbid 210 . . . . . . . . 9
115114adantr 465 . . . . . . . 8
116 simpr 461 . . . . . . . 8
117 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
118117, 24syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . 11
119118sseq2d 3531 . . . . . . . . . 10
120118rexeqdv 3061 . . . . . . . . . 10
121 seqeq1 12110 . . . . . . . . . . 11
122121breq1d 4462 . . . . . . . . . 10
123119, 120, 1223anbi123d 1299 . . . . . . . . 9
124123rspcev 3210 . . . . . . . 8
12573, 74, 115, 116, 124syl13anc 1230 . . . . . . 7
126125orcd 392 . . . . . 6
127126ex 434 . . . . 5
12872, 127impbid 191 . . . 4
12995, 82eqtr4d 2501 . . . . . . . . 9
13081, 129sylan2br 476 . . . . . . . 8
131130ralrimiva 2871 . . . . . . 7
13299nfeq1 2634 . . . . . . . 8
133102, 101eqeq12d 2479 . . . . . . . 8
134132, 133rspc 3204 . . . . . . 7
135131, 134mpan9 469 . . . . . 6
13620, 135seqfeq 12132 . . . . 5
137136breq1d 4462 . . . 4
138128, 137bitrd 253 . . 3
139138iotabidv 5577 . 2
140 df-prod 13713 . 2
141 df-fv 5601 . 2
142139, 140, 1413eqtr4g 2523 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296   cen 7533   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405   cli 13307  prod_cprod 13712
This theorem is referenced by:  iprod  13745  zprodn0  13746  prodss  13754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-prod 13713
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