MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Unicode version

Theorem zsubcl 10931
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10894 . . 3
2 zcn 10894 . . 3
3 negsub 9890 . . 3
41, 2, 3syl2an 477 . 2
5 znegcl 10924 . . 3
6 zaddcl 10929 . . 3
75, 6sylan2 474 . 2
84, 7eqeltrrd 2546 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  (class class class)co 6296   cc 9511   caddc 9516   cmin 9828  -ucneg 9829   cz 10889
This theorem is referenced by:  peano2zm  10932  zrevaddcl  10934  znnsub  10935  znn0sub  10936  zneo  10970  uzindOLD  10982  zsubcld  10999  eluzsubi  11137  fzen  11732  uzsubsubfz  11736  fzrev  11771  fzrev2  11772  fzrevral2  11793  fzshftral  11795  fz0fzdiffz0  11812  difelfzle  11817  difelfznle  11818  fzonfzoufzol  11913  elfzomelpfzo  11914  zmodcl  12015  fzen2  12079  facndiv  12366  bccmpl  12387  bcval5  12396  bcpasc  12399  hashfz  12485  ccatsymb  12600  swrdlend  12656  swrd0  12658  swrdspsleq  12673  swrdccatin12lem1  12709  swrdccatin12lem2a  12710  swrdccatin12lem2b  12711  swrdccatin12lem2  12714  swrdccat  12718  repswswrd  12756  cshwsublen  12767  2cshwid  12782  3cshw  12786  cshweqdif2  12787  2cshwcshw  12793  cshwcshid  12795  seqshft  12918  isercoll2  13491  moddvds  13993  dvds2sub  14016  dvdssub2  14023  dvdssubr  14027  fzocongeq  14040  odd2np1  14046  3dvds  14050  divalglem0  14051  divalglem4  14054  divalglem9  14059  divalgb  14062  divalgmod  14064  ndvdsadd  14066  nn0seqcvgd  14199  eulerthlem2  14312  prmdiv  14315  prmdiveq  14316  omoe  14336  omeo  14338  pythagtriplem4  14343  pythagtriplem8  14347  mod2xnegi  14557  cshwshashlem2  14581  mndodcongi  16567  odcong  16573  odf1  16584  odf1o1  16592  efgredleme  16761  srgbinomlem4  17194  plyeq0lem  22607  aaliou3lem1  22738  aaliou3lem2  22739  efif1olem2  22930  wilthlem2  23343  basellem2  23355  dchrptlem1  23539  bposlem6  23564  lgsquadlem1  23629  clwlkisclwwlklem2fv2  24783  ballotlemfelz  28429  zfallfaccl  29143  binomrisefac  29164  bpolydiflem  29816  irrapxlem1  30758  jm2.24nn  30897  congtr  30903  congadd  30904  congmul  30905  congabseq  30912  acongeq  30921  jm2.26a  30942  jm2.15nn0  30945  jm2.27c  30949  jm3.1  30962  lesubnn0  32326  2elfz2melfz  32334  elfzlble  32336  elfzelfzlble  32337  subsubelfzo0  32338  altgsumbc  32941  altgsumbcALT  32942  zlmodzxzsub  32949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890
  Copyright terms: Public domain W3C validator