MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsubcl Unicode version

Theorem zsubcl 10370
Description: Closure of subtraction of integers. (Contributed by NM, 11-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zsubcl

Proof of Theorem zsubcl
StepHypRef Expression
1 zcn 10338 . . 3
2 zcn 10338 . . 3
3 negsub 9400 . . 3
41, 2, 3syl2an 465 . 2
5 znegcl 10364 . . 3
6 zaddcl 10368 . . 3
75, 6sylan2 462 . 2
84, 7eqeltrrd 2518 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 360  =wceq 1654  e.wcel 1728  (class class class)co 6129   cc 9039   caddc 9044   cmin 9342  -ucneg 9343   cz 10333
This theorem is referenced by:  peano2zm  10371  zrevaddcl  10372  znnsub  10373  znn0sub  10374  zneo  10403  uzindOLD  10415  zsubcld  10431  eluzsubi  10564  fzen  11123  fzrev  11159  fzrev2  11160  fzm1  11178  fzrevral2  11183  fzshftral  11185  zmodcl  11317  fzen2  11359  facndiv  11630  bccmpl  11651  bcval5  11660  bcpasc  11663  hashfz  11743  seqshft  11951  isercoll2  12513  moddvds  12910  dvds2sub  12933  dvdssub2  12938  dvdssubr  12942  fzocongeq  12954  odd2np1  12959  3dvds  12963  divalglem0  12964  divalglem4  12967  divalglem9  12972  divalgb  12975  divalgmod  12977  ndvdsadd  12979  nn0seqcvgd  13112  eulerthlem2  13222  prmdiv  13225  prmdiveq  13226  omoe  13237  omeo  13239  pythagtriplem4  13244  pythagtriplem8  13248  mod2xnegi  13458  mndodcongi  15232  odcong  15238  odf1  15249  odf1o1  15257  efgredleme  15426  plyeq0lem  20180  aaliou3lem1  20310  aaliou3lem2  20311  efif1olem2  20496  wilthlem2  20903  basellem2  20915  dchrptlem1  21099  bposlem6  21124  lgsquadlem1  21189  ballotlemfelz  24852  zfallfaccl  25441  binomrisefac  25462  bpolydiflem  26204  irrapxlem1  27064  jm2.24nn  27203  congtr  27209  congadd  27210  congmul  27211  congabseq  27218  acongeq  27227  jm2.26a  27250  jm2.15nn0  27253  jm2.27c  27257  jm3.1  27270  lesubnn0  28283  2elfz2melfz  28304  fz0fzdiffz0  28306  ubmelm1fzo  28314  elfzomelpfzo  28316  subsubelfzo0  28322  ccatsymb  28375  swrdltnd  28379  swrdccatin12lem2  28405  swrdccatin12lem3a  28406  swrdccatin12lem3b  28407  swrdccatin12lem3  28410  swrdccat  28414  cshwidx  28440  2cshw1lem1  28446  2cshw1lem2  28447  2cshw2lem1  28450  2cshw2lem2  28451  cshwssizelem4a  28481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-pss 3325  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-tp 3849  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-tr 4337  df-eprel 4535  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-fr 4582  df-we 4584  df-ord 4625  df-on 4626  df-lim 4627  df-suc 4628  df-om 4887  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-riota 6599  df-recs 6682  df-rdg 6717  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-nn 10052  df-n0 10273  df-z 10334
  Copyright terms: Public domain W3C validator