MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsum Unicode version

Theorem zsum 13540
Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zsum.1
zsum.2
zsum.3
zsum.4
zsum.5
Assertion
Ref Expression
zsum
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem zsum
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
2 csbeq1 3437 . . . . . . . . . . . 12
31, 2ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . 11
43cbvmptv 4543 . . . . . . . . . 10
5 simpll 753 . . . . . . . . . . 11
6 zsum.5 . . . . . . . . . . . . 13
76ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12
8 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . . . 14
98nfel1 2635 . . . . . . . . . . . . 13
10 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
1110eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . 13
129, 11rspc 3204 . . . . . . . . . . . 12
137, 12syl5 32 . . . . . . . . . . 11
145, 13mpan9 469 . . . . . . . . . 10
15 simplr 755 . . . . . . . . . 10
16 zsum.2 . . . . . . . . . . 11
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
18 simpr 461 . . . . . . . . . 10
19 zsum.3 . . . . . . . . . . . 12
20 zsum.1 . . . . . . . . . . . 12
2119, 20syl6sseq 3549 . . . . . . . . . . 11
2221ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
234, 14, 15, 17, 18, 22sumrb 13535 . . . . . . . . 9
2423biimpd 207 . . . . . . . 8
2524expimpd 603 . . . . . . 7
2625rexlimdva 2949 . . . . . 6
2719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
28 uzssz 11129 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2920, 28eqsstri 3533 . . . . . . . . . . . . . . 15
30 zssre 10896 . . . . . . . . . . . . . . 15
3129, 30sstri 3512 . . . . . . . . . . . . . 14
32 ltso 9686 . . . . . . . . . . . . . 14
33 soss 4823 . . . . . . . . . . . . . 14
3431, 32, 33mp2 9 . . . . . . . . . . . . 13
35 soss 4823 . . . . . . . . . . . . 13
3627, 34, 35mpisyl 18 . . . . . . . . . . . 12
37 fzfi 12082 . . . . . . . . . . . . 13
38 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3938f1oen 7556 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
4140ensymd 7586 . . . . . . . . . . . . 13
42 enfii 7757 . . . . . . . . . . . . 13
4337, 41, 42sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
44 fz1iso 12511 . . . . . . . . . . . 12
4536, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
46 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . 15
4746, 13mpan9 469 . . . . . . . . . . . . . 14
48 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4948csbeq1d 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16
50 csbco 3444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5149, 50syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . . 15
5251cbvmptv 4543 . . . . . . . . . . . . . 14
53 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14
54 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
5516ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
5621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14
57 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14
58 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . 14
594, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58summolem2a 13537 . . . . . . . . . . . . 13
6059expr 615 . . . . . . . . . . . 12
6160exlimdv 1724 . . . . . . . . . . 11
6245, 61mpd 15 . . . . . . . . . 10
63 breq2 4456 . . . . . . . . . 10
6462, 63syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9
6564expimpd 603 . . . . . . . 8
6665exlimdv 1724 . . . . . . 7
6766rexlimdva 2949 . . . . . 6
6826, 67jaod 380 . . . . 5
6916adantr 465 . . . . . . . 8
7021adantr 465 . . . . . . . 8
71 simpr 461 . . . . . . . 8
72 fveq2 5871 . . . . . . . . . . 11
7372sseq2d 3531 . . . . . . . . . 10
74 seqeq1 12110 . . . . . . . . . . 11
7574breq1d 4462 . . . . . . . . . 10
7673, 75anbi12d 710 . . . . . . . . 9
7776rspcev 3210 . . . . . . . 8
7869, 70, 71, 77syl12anc 1226 . . . . . . 7
7978orcd 392 . . . . . 6
8079ex 434 . . . . 5
8168, 80impbid 191 . . . 4
82 simpr 461 . . . . . . . . 9
8328, 82sseldi 3501 . . . . . . . 8
8482, 20syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10
85 zsum.4 . . . . . . . . . . . 12
8685ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11
8786adantr 465 . . . . . . . . . 10
88 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . 12
8988nfeq2 2636 . . . . . . . . . . 11
90 fveq2 5871 . . . . . . . . . . . 12
91 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . 12
9290, 91eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11
9389, 92rspc 3204 . . . . . . . . . 10
9484, 87, 93sylc 60 . . . . . . . . 9
95 fvex 5881 . . . . . . . . 9
9694, 95syl6eqelr 2554 . . . . . . . 8
97 nfcv 2619 . . . . . . . . . . 11
98 nfv 1707 . . . . . . . . . . . 12
99 nfcsb1v 3450 . . . . . . . . . . . 12
100 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12
10198, 99, 100nfif 3970 . . . . . . . . . . 11
102 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
103 csbeq1a 3443 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103ifbieq1d 3964 . . . . . . . . . . 11
10597, 101, 104cbvmpt 4542 . . . . . . . . . 10
106105eqcomi 2470 . . . . . . . . 9
107106fvmpts 5958 . . . . . . . 8
10883, 96, 107syl2anc 661 . . . . . . 7
109108, 94eqtr4d 2501 . . . . . 6
11016, 109seqfeq 12132 . . . . 5
111110breq1d 4462 . . . 4
11281, 111bitrd 253 . . 3
113112iotabidv 5577 . 2
114 df-sum 13509 . 2
115 df-fv 5601 . 2
116113, 114, 1153eqtr4g 2523 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296   cen 7533   cfn 7536   cc 9511   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   clt 9649   cn 10561   cz 10889   cuz 11110   cfz 11701  seqcseq 12107   chash 12405   cli 13307  sum_csu 13508
This theorem is referenced by:  isum  13541  sum0  13543  sumz  13544  sumss  13546  fsumsers  13550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509
  Copyright terms: Public domain W3C validator