Theorem zsum 13540

Description: Series sum with index set a subset of the upper integers. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zsum.1
zsum.2
zsum.3
zsum.4
zsum.5

Assertion

Ref	Expression
zsum

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,M

Proof of Theorem zsum

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
2		csbeq1 3437	. . . . . . . . . . . 12
3	1, 2	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . . 11
4	3	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . 10
5		simpll 753	. . . . . . . . . . 11
6		zsum.5	. . . . . . . . . . . . 13
7	6	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12
8		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . . . 14
9	8	nfel1 2635	. . . . . . . . . . . . 13
10		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . . . 14
11	10	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . 13
12	9, 11	rspc 3204	. . . . . . . . . . . 12
13	7, 12	syl5 32	. . . . . . . . . . 11
14	5, 13	mpan9 469	. . . . . . . . . 10
15		simplr 755	. . . . . . . . . 10
16		zsum.2	. . . . . . . . . . 11
17	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
18		simpr 461	. . . . . . . . . 10
19		zsum.3	. . . . . . . . . . . 12
20		zsum.1	. . . . . . . . . . . 12
21	19, 20	syl6sseq 3549	. . . . . . . . . . 11
22	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10
23	4, 14, 15, 17, 18, 22	sumrb 13535	. . . . . . . . 9
24	23	biimpd 207	. . . . . . . 8
25	24	expimpd 603	. . . . . . 7
26	25	rexlimdva 2949	. . . . . 6
27	19	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
28		uzssz 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16
29	20, 28	eqsstri 3533	. . . . . . . . . . . . . . 15
30		zssre 10896	. . . . . . . . . . . . . . 15
31	29, 30	sstri 3512	. . . . . . . . . . . . . 14
32		ltso 9686	. . . . . . . . . . . . . 14
33		soss 4823	. . . . . . . . . . . . . 14
34	31, 32, 33	mp2 9	. . . . . . . . . . . . 13
35		soss 4823	. . . . . . . . . . . . 13
36	27, 34, 35	mpisyl 18	. . . . . . . . . . . 12
37		fzfi 12082	. . . . . . . . . . . . 13
38		ovex 6324	. . . . . . . . . . . . . . . 16
39	38	f1oen 7556	. . . . . . . . . . . . . . 15
40	39	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14
41	40	ensymd 7586	. . . . . . . . . . . . 13
42		enfii 7757	. . . . . . . . . . . . 13
43	37, 41, 42	sylancr 663	. . . . . . . . . . . 12
44		fz1iso 12511	. . . . . . . . . . . 12
45	36, 43, 44	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11
46		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . . 15
47	46, 13	mpan9 469	. . . . . . . . . . . . . 14
48		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
49	48	csbeq1d 3441	. . . . . . . . . . . . . . . 16
50		csbco 3444	. . . . . . . . . . . . . . . 16
51	49, 50	syl6eqr 2516	. . . . . . . . . . . . . . 15
52	51	cbvmptv 4543	. . . . . . . . . . . . . 14
53		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14
54		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14
55	16	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14
56	21	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14
57		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14
58		simprr 757	. . . . . . . . . . . . . 14
59	4, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58	summolem2a 13537	. . . . . . . . . . . . 13
60	59	expr 615	. . . . . . . . . . . 12
61	60	exlimdv 1724	. . . . . . . . . . 11
62	45, 61	mpd 15	. . . . . . . . . 10
63		breq2 4456	. . . . . . . . . 10
64	62, 63	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . 9
65	64	expimpd 603	. . . . . . . 8
66	65	exlimdv 1724	. . . . . . 7
67	66	rexlimdva 2949	. . . . . 6
68	26, 67	jaod 380	. . . . 5
69	16	adantr 465	. . . . . . . 8
70	21	adantr 465	. . . . . . . 8
71		simpr 461	. . . . . . . 8
72		fveq2 5871	. . . . . . . . . . 11
73	72	sseq2d 3531	. . . . . . . . . 10
74		seqeq1 12110	. . . . . . . . . . 11
75	74	breq1d 4462	. . . . . . . . . 10
76	73, 75	anbi12d 710	. . . . . . . . 9
77	76	rspcev 3210	. . . . . . . 8
78	69, 70, 71, 77	syl12anc 1226	. . . . . . 7
79	78	orcd 392	. . . . . 6
80	79	ex 434	. . . . 5
81	68, 80	impbid 191	. . . 4
82		simpr 461	. . . . . . . . 9
83	28, 82	sseldi 3501	. . . . . . . 8
84	82, 20	syl6eleqr 2556	. . . . . . . . . 10
85		zsum.4	. . . . . . . . . . . 12
86	85	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11
87	86	adantr 465	. . . . . . . . . 10
88		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . 12
89	88	nfeq2 2636	. . . . . . . . . . 11
90		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . 12
91		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . 12
92	90, 91	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . . 11
93	89, 92	rspc 3204	. . . . . . . . . 10
94	84, 87, 93	sylc 60	. . . . . . . . 9
95		fvex 5881	. . . . . . . . 9
96	94, 95	syl6eqelr 2554	. . . . . . . 8
97		nfcv 2619	. . . . . . . . . . 11
98		nfv 1707	. . . . . . . . . . . 12
99		nfcsb1v 3450	. . . . . . . . . . . 12
100		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . 12
101	98, 99, 100	nfif 3970	. . . . . . . . . . 11
102		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
103		csbeq1a 3443	. . . . . . . . . . . 12
104	102, 103	ifbieq1d 3964	. . . . . . . . . . 11
105	97, 101, 104	cbvmpt 4542	. . . . . . . . . 10
106	105	eqcomi 2470	. . . . . . . . 9
107	106	fvmpts 5958	. . . . . . . 8
108	83, 96, 107	syl2anc 661	. . . . . . 7
109	108, 94	eqtr4d 2501	. . . . . 6
110	16, 109	seqfeq 12132	. . . . 5
111	110	breq1d 4462	. . . 4
112	81, 111	bitrd 253	. . 3
113	112	iotabidv 5577	. 2
114		df-sum 13509	. 2
115		df-fv 5601	. 2
116	113, 114, 115	3eqtr4g 2523	1

Syntax hints:  ->wi 4  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  [_csb 3434  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  Orwor 4804  iotacio 5554  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  Isomwiso 5594  (class class class)co 6296  cen 7533  cfn 7536  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cn 10561  cz 10889  cuz 11110  cfz 11701  seqcseq 12107  chash 12405  cli 13307  sum_csu 13508

This theorem is referenced by:  isum  13541  sum0  13543  sumz  13544  sumss  13546  fsumsers  13550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-rp 11250  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-seq 12108  df-exp 12167  df-hash 12406  df-cj 12932  df-re 12933  df-im 12934  df-sqrt 13068  df-abs 13069  df-clim 13311  df-sum 13509