MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zsupss Unicode version

Theorem zsupss 11200
Description: Any nonempty bounded subset of integers has a supremum in the set. (The proof does not use ax-pre-sup 9591.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
zsupss
Distinct variable groups:   , , ,   ,

Proof of Theorem zsupss
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4455 . . . . . 6
21cbvralv 3084 . . . . 5
3 breq2 4456 . . . . . 6
43ralbidv 2896 . . . . 5
52, 4syl5bb 257 . . . 4
65cbvrexv 3085 . . 3
7 simp1rl 1061 . . . . . . . . . 10
87znegcld 10996 . . . . . . . . 9
9 simp2 997 . . . . . . . . 9
109zred 10994 . . . . . . . . . 10
117zred 10994 . . . . . . . . . 10
12 simp3 998 . . . . . . . . . . 11
13 simp1rr 1062 . . . . . . . . . . 11
14 breq1 4455 . . . . . . . . . . . 12
1514rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11
1612, 13, 15sylc 60 . . . . . . . . . 10
1710, 11, 16lenegcon1d 10159 . . . . . . . . 9
18 eluz2 11116 . . . . . . . . 9
198, 9, 17, 18syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8
2019rabssdv 3579 . . . . . . 7
21 n0 3794 . . . . . . . . . 10
22 ssel2 3498 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322znegcld 10996 . . . . . . . . . . . . . 14
2422zcnd 10995 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524negnegd 9945 . . . . . . . . . . . . . . 15
26 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
2725, 26eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . 14
28 negeq 9835 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2928eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . 14
3123, 27, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
3231ex 434 . . . . . . . . . . . 12
3332exlimdv 1724 . . . . . . . . . . 11
3433imp 429 . . . . . . . . . 10
3521, 34sylan2b 475 . . . . . . . . 9
3635adantr 465 . . . . . . . 8
37 rabn0 3805 . . . . . . . 8
3836, 37sylibr 212 . . . . . . 7
39 infmssuzcl 11194 . . . . . . 7
4020, 38, 39syl2anc 661 . . . . . 6
41 negeq 9835 . . . . . . . . 9
4241eleq1d 2526 . . . . . . . 8
43 negeq 9835 . . . . . . . . . 10
4443eleq1d 2526 . . . . . . . . 9
4544cbvrabv 3108 . . . . . . . 8
4642, 45elrab2 3259 . . . . . . 7
4746simprbi 464 . . . . . 6
4840, 47syl 16 . . . . 5
49 ssrab2 3584 . . . . . . . . . 10
5040adantr 465 . . . . . . . . . 10
5149, 50sseldi 3501 . . . . . . . . 9
5251zred 10994 . . . . . . . 8
53 simpll 753 . . . . . . . . . 10
5453sselda 3503 . . . . . . . . 9
5554zred 10994 . . . . . . . 8
5620adantr 465 . . . . . . . . 9
5754znegcld 10996 . . . . . . . . . 10
5854zcnd 10995 . . . . . . . . . . . 12
5958negnegd 9945 . . . . . . . . . . 11
60 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
6159, 60eqeltrd 2545 . . . . . . . . . 10
62 negeq 9835 . . . . . . . . . . . 12
6362eleq1d 2526 . . . . . . . . . . 11
6463elrab 3257 . . . . . . . . . 10
6557, 61, 64sylanbrc 664 . . . . . . . . 9
66 infmssuzle 11193 . . . . . . . . 9
6756, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . 8
6852, 55, 67lenegcon2d 10160 . . . . . . 7
6951znegcld 10996 . . . . . . . . 9
7069zred 10994 . . . . . . . 8
7155, 70lenltd 9752 . . . . . . 7
7268, 71mpbid 210 . . . . . 6
7372ralrimiva 2871 . . . . 5
74 breq2 4456 . . . . . . . . 9
7574rspcev 3210 . . . . . . . 8
7675ex 434 . . . . . . 7
7748, 76syl 16 . . . . . 6
7877ralrimivw 2872 . . . . 5
79 breq1 4455 . . . . . . . . 9
8079notbid 294 . . . . . . . 8
8180ralbidv 2896 . . . . . . 7
82 breq2 4456 . . . . . . . . 9
8382imbi1d 317 . . . . . . . 8
8483ralbidv 2896 . . . . . . 7
8581, 84anbi12d 710 . . . . . 6
8685rspcev 3210 . . . . 5
8748, 73, 78, 86syl12anc 1226 . . . 4
8887rexlimdvaa 2950 . . 3
896, 88syl5bi 217 . 2
90893impia 1193 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  {crab 2811  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  `'ccnv 5003  `cfv 5593  supcsup 7920   cr 9512   clt 9649   cle 9650  -ucneg 9829   cz 10889   cuz 11110
This theorem is referenced by:  suprzcl2  11201  suprzub  11202  uzsupss  11203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111
  Copyright terms: Public domain W3C validator