Theorem iinon 7030

Description: The nonempty indexed intersection of a class of ordinal numbers (x) is an ordinal number. (Contributed by NM, 13-Oct-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Dec-2016.)

Assertion

Ref	Expression
iinon

Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem iinon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiin3g 5261	. . 3
2	1	adantr 465	. 2
3		eqid 2457	. . . . 5
4	3	rnmptss 6060	. . . 4
5	4	adantr 465	. . 3
6		dm0rn0 5224	. . . . . 6
7		dmmptg 5509	. . . . . . 7
8	7	eqeq1d 2459	. . . . . 6
9	6, 8	syl5bbr 259	. . . . 5
10	9	necon3bid 2715	. . . 4
11	10	biimpar 485	. . 3
12		oninton 6635	. . 3
13	5, 11, 12	syl2anc 661	. 2
14	2, 13	eqeltrd 2545	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  |^|_ciin 4331  e.cmpt 4510  con0 4883  domcdm 5004  rancrn 5005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601