Theorem iinpreima 6017

Description: Preimage of an intersection. (Contributed by FL, 16-Apr-2012.)

Assertion

Ref	Expression
iinpreima

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem iinpreima

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 753	. . . . 5
2		cnvimass 5362	. . . . . . 7
3	2	sseli 3499	. . . . . 6
4	3	adantl 466	. . . . 5
5		fvex 5881	. . . . . 6
6		fvimacnvi 6001	. . . . . . 7
7	6	adantlr 714	. . . . . 6
8		eliin 4336	. . . . . . 7
9	8	biimpa 484	. . . . . 6
10	5, 7, 9	sylancr 663	. . . . 5
11		fvimacnv 6002	. . . . . . 7
12	11	ralbidv 2896	. . . . . 6
13	12	biimpa 484	. . . . 5
14	1, 4, 10, 13	syl21anc 1227	. . . 4
15		vex 3112	. . . . 5
16		eliin 4336	. . . . 5
17	15, 16	ax-mp 5	. . . 4
18	14, 17	sylibr 212	. . 3
19		simpll 753	. . . . . 6
20	16	biimpd 207	. . . . . . . 8
21	15, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7
22	21	adantl 466	. . . . . 6
23		fvimacnvi 6001	. . . . . . . 8
24	23	ex 434	. . . . . . 7
25	24	ralimdv 2867	. . . . . 6
26	19, 22, 25	sylc 60	. . . . 5
27	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5
28	26, 27	sylibr 212	. . . 4
29		r19.2zb 3919	. . . . . . . . . 10
30	29	biimpi 194	. . . . . . . . 9
31		cnvimass 5362	. . . . . . . . . . 11
32	31	sseli 3499	. . . . . . . . . 10
33	32	rexlimivw 2946	. . . . . . . . 9
34	30, 33	syl6 33	. . . . . . . 8
35	17, 34	syl5bi 217	. . . . . . 7
36	35	adantl 466	. . . . . 6
37	36	imp 429	. . . . 5
38		fvimacnv 6002	. . . . 5
39	19, 37, 38	syl2anc 661	. . . 4
40	28, 39	mpbid 210	. . 3
41	18, 40	impbida 832	. 2
42	41	eqrdv 2454	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808  cvv 3109  c0 3784  |^|_ciin 4331  `'ccnv 5003  domcdm 5004  "cima 5007  Funwfun 5587  `cfv 5593

This theorem is referenced by:  intpreima  6018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iin 4333  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-fv 5601