Theorem imadomg 8933

Description: An image of a function under a set is dominated by the set. Proposition 10.34 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 23-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
imadomg

Proof of Theorem imadomg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ima 5017	. . . 4
2		resfunexg 6137	. . . . . 6
3		dmexg 6731	. . . . . 6
4	2, 3	syl 16	. . . . 5
5		funres 5632	. . . . . . 7
6		funforn 5807	. . . . . . 7
7	5, 6	sylib 196	. . . . . 6
8	7	adantr 465	. . . . 5
9		fodomg 8924	. . . . 5
10	4, 8, 9	sylc 60	. . . 4
11	1, 10	syl5eqbr 4485	. . 3
12	11	expcom 435	. 2
13		dmres 5299	. . . . . 6
14		inss1 3717	. . . . . 6
15	13, 14	eqsstri 3533	. . . . 5
16		ssdomg 7581	. . . . 5
17	15, 16	mpi 17	. . . 4
18		domtr 7588	. . . 4
19	17, 18	sylan2 474	. . 3
20	19	expcom 435	. 2
21	12, 20	syld 44	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007  Funwfun 5587  -onto->wfo 5591  cdom 7534

This theorem is referenced by:  uniimadom  8940  hausmapdom  20001  fimact  27540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-ac2 8864

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-card 8341  df-acn 8344  df-ac 8518