Theorem imainrect 5453

Description: Image of a relation restricted to a rectangular region. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
imainrect

Proof of Theorem imainrect

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-res 5016	. . 3
2	1	rneqi 5234	. 2
3		df-ima 5017	. 2
4		df-ima 5017	. . . . 5
5		df-res 5016	. . . . . 6
6	5	rneqi 5234	. . . . 5
7	4, 6	eqtri 2486	. . . 4
8	7	ineq1i 3695	. . 3
9		cnvin 5418	. . . . . 6
10		inxp 5140	. . . . . . . . . 10
11		inv1 3812	. . . . . . . . . . 11
12		incom 3690	. . . . . . . . . . . 12
13		inv1 3812	. . . . . . . . . . . 12
14	12, 13	eqtri 2486	. . . . . . . . . . 11
15	11, 14	xpeq12i 5026	. . . . . . . . . 10
16	10, 15	eqtr2i 2487	. . . . . . . . 9
17	16	ineq2i 3696	. . . . . . . 8
18		in32 3709	. . . . . . . 8
19		xpindir 5142	. . . . . . . . . . . 12
20	19	ineq2i 3696	. . . . . . . . . . 11
21		inass 3707	. . . . . . . . . . 11
22	20, 21	eqtr4i 2489	. . . . . . . . . 10
23	22	ineq1i 3695	. . . . . . . . 9
24		inass 3707	. . . . . . . . 9
25	23, 24	eqtri 2486	. . . . . . . 8
26	17, 18, 25	3eqtr4i 2496	. . . . . . 7
27	26	cnveqi 5182	. . . . . 6
28		df-res 5016	. . . . . . 7
29		cnvxp 5429	. . . . . . . 8
30	29	ineq2i 3696	. . . . . . 7
31	28, 30	eqtr4i 2489	. . . . . 6
32	9, 27, 31	3eqtr4ri 2497	. . . . 5
33	32	dmeqi 5209	. . . 4
34		incom 3690	. . . . 5
35		dmres 5299	. . . . 5
36		df-rn 5015	. . . . . 6
37	36	ineq1i 3695	. . . . 5
38	34, 35, 37	3eqtr4ri 2497	. . . 4
39		df-rn 5015	. . . 4
40	33, 38, 39	3eqtr4ri 2497	. . 3
41	8, 40	eqtr4i 2489	. 2
42	2, 3, 41	3eqtr4i 2496	1

Syntax hints:  =wceq 1395  cvv 3109  i^icin 3474  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  "cima 5007

This theorem is referenced by:  ecinxp  7405  marypha1lem  7913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-br 4453  df-opab 4511  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017