Theorem indexfi 7848

Description: If for every element of a finite indexing set there exists a corresponding element of another set , then there exists a finite subset of consisting only of those elements which are indexed by . Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 30225. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indexfi

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,

Proof of Theorem indexfi

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1707	. . . . . 6
2		nfsbc1v 3347	. . . . . 6
3		sbceq1a 3338	. . . . . 6
4	1, 2, 3	cbvrex 3081	. . . . 5
5	4	ralbii 2888	. . . 4
6		dfsbcq 3329	. . . . 5
7	6	ac6sfi 7784	. . . 4
8	5, 7	sylan2b 475	. . 3
9		simpll 753	. . . . 5
10		ffn 5736	. . . . . . 7
11	10	ad2antrl 727	. . . . . 6
12		dffn4 5806	. . . . . 6
13	11, 12	sylib 196	. . . . 5
14		fofi 7826	. . . . 5
15	9, 13, 14	syl2anc 661	. . . 4
16		frn 5742	. . . . 5
17	16	ad2antrl 727	. . . 4
18		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . 9
19	10, 18	sylan 471	. . . . . . . 8
20		rspesbca 3419	. . . . . . . . 9
21	20	ex 434	. . . . . . . 8
22	19, 21	syl 16	. . . . . . 7
23	22	ralimdva 2865	. . . . . 6
24	23	imp 429	. . . . 5
25	24	adantl 466	. . . 4
26		simpr 461	. . . . . . . 8
27		simprr 757	. . . . . . . . . 10
28		nfv 1707	. . . . . . . . . . 11
29		nfsbc1v 3347	. . . . . . . . . . 11
30		fveq2 5871	. . . . . . . . . . . . 13
31	30	sbceq1d 3332	. . . . . . . . . . . 12
32		sbceq1a 3338	. . . . . . . . . . . 12
33	31, 32	bitrd 253	. . . . . . . . . . 11
34	28, 29, 33	cbvral 3080	. . . . . . . . . 10
35	27, 34	sylib 196	. . . . . . . . 9
36	35	r19.21bi 2826	. . . . . . . 8
37		rspesbca 3419	. . . . . . . 8
38	26, 36, 37	syl2anc 661	. . . . . . 7
39	38	ralrimiva 2871	. . . . . 6
40		dfsbcq 3329	. . . . . . . . 9
41	40	rexbidv 2968	. . . . . . . 8
42	41	ralrn 6034	. . . . . . 7
43	11, 42	syl 16	. . . . . 6
44	39, 43	mpbird 232	. . . . 5
45		nfv 1707	. . . . . 6
46		nfcv 2619	. . . . . . 7
47	46, 2	nfrex 2920	. . . . . 6
48	3	rexbidv 2968	. . . . . 6
49	45, 47, 48	cbvral 3080	. . . . 5
50	44, 49	sylibr 212	. . . 4
51		sseq1 3524	. . . . . 6
52		rexeq 3055	. . . . . . 7
53	52	ralbidv 2896	. . . . . 6
54		raleq 3054	. . . . . 6
55	51, 53, 54	3anbi123d 1299	. . . . 5
56	55	rspcev 3210	. . . 4
57	15, 17, 25, 50, 56	syl13anc 1230	. . 3
58	8, 57	exlimddv 1726	. 2
59	58	3adant2 1015	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  [.wsbc 3327  C_wss 3475  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  cfn 7536

This theorem is referenced by:  filbcmb  30231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540