Theorem indpi 9306

Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
indpi.1
indpi.2
indpi.3
indpi.4
indpi.5
indpi.6

Assertion

Ref	Expression
indpi

Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem indpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1pi 9282	. . . . . . 7
2	1	elexi 3119	. . . . . 6
3	2	eqvinc 3226	. . . . 5
4		indpi.4	. . . . 5
5		indpi.5	. . . . . 6
6		indpi.1	. . . . . 6
7	5, 6	mpbiri 233	. . . . 5
8	3, 4, 7	gencl 3139	. . . 4
9	8	eqcoms 2469	. . 3
10	9	a1i 11	. 2
11		pinn 9277	. . . . 5
12		elni2 9276	. . . . . 6
13		nnord 6708	. . . . . . . . 9
14		ordsucss 6653	. . . . . . . . 9
15	13, 14	syl 16	. . . . . . . 8
16		df-1o 7149	. . . . . . . . 9
17	16	sseq1i 3527	. . . . . . . 8
18	15, 17	syl6ibr 227	. . . . . . 7
19	18	imp 429	. . . . . 6
20	12, 19	sylbi 195	. . . . 5
21		1onn 7307	. . . . . 6
22		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
23		breq2 4456	. . . . . . . . 9
24	22, 23	anbi12d 710	. . . . . . . 8
25	24, 6	imbi12d 320	. . . . . . 7
26		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
27		breq2 4456	. . . . . . . . 9
28	26, 27	anbi12d 710	. . . . . . . 8
29		indpi.2	. . . . . . . 8
30	28, 29	imbi12d 320	. . . . . . 7
31		pinn 9277	. . . . . . . . . . . . . . 15
32		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . . . . 16
33		peano2b 6716	. . . . . . . . . . . . . . . 16
34	32, 33	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . . . 15
35	31, 34	syl5ib 219	. . . . . . . . . . . . . 14
36	35	adantrd 468	. . . . . . . . . . . . 13
37		ltpiord 9286	. . . . . . . . . . . . . . . 16
38	1, 37	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . . 15
39	38	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14
40		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . 15
41		elsuci 4949	. . . . . . . . . . . . . . . 16
42		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
43		0lt1o 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
45	43, 44	mpbii 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
46		ne0i 3790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
47	45, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
48	42, 47	jaoi 379	. . . . . . . . . . . . . . . 16
49	41, 48	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
50	40, 49	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . 14
51	39, 50	syl5 32	. . . . . . . . . . . . 13
52	36, 51	jcad 533	. . . . . . . . . . . 12
53		elni 9275	. . . . . . . . . . . 12
54	52, 53	syl6ibr 227	. . . . . . . . . . 11
55		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12
56		breq2 4456	. . . . . . . . . . . 12
57	55, 56	syl5ib 219	. . . . . . . . . . 11
58	54, 57	jcad 533	. . . . . . . . . 10
59		addclpi 9291	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	1, 59	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . 14
61		addpiord 9283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
62	1, 61	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
63		pion 9278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
64		oa1suc 7200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
66	62, 65	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
67	66	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . . . . . . 16
68	67	biimparc 487	. . . . . . . . . . . . . . 15
69	68	eleq1d 2526	. . . . . . . . . . . . . 14
70	60, 69	syl5ibr 221	. . . . . . . . . . . . 13
71	70	ex 434	. . . . . . . . . . . 12
72	71	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . 11
73	56	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11
74	72, 73	anim12d 563	. . . . . . . . . 10
75	58, 74	impbid 191	. . . . . . . . 9
76	75	imbi1d 317	. . . . . . . 8
77		indpi.3	. . . . . . . . . . . 12
78	67, 77	syl6bir 229	. . . . . . . . . . 11
79	78	adantr 465	. . . . . . . . . 10
80	79	com12 31	. . . . . . . . 9
81	80	pm5.74d 247	. . . . . . . 8
82	76, 81	bitrd 253	. . . . . . 7
83		eleq1 2529	. . . . . . . . 9
84		breq2 4456	. . . . . . . . 9
85	83, 84	anbi12d 710	. . . . . . . 8
86	85, 4	imbi12d 320	. . . . . . 7
87	5	a1ii 27	. . . . . . 7
88		ltpiord 9286	. . . . . . . . . . . . . . 15
89	1, 88	mpan 670	. . . . . . . . . . . . . 14
90	89	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . 13
91	90	simplbi2 625	. . . . . . . . . . . 12
92	91	imim1d 75	. . . . . . . . . . 11
93		ltrelpi 9288	. . . . . . . . . . . . . . 15
94	93	brel 5053	. . . . . . . . . . . . . 14
95		ltpiord 9286	. . . . . . . . . . . . . 14
96	94, 95	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13
97	96	ibi 241	. . . . . . . . . . . 12
98	2	eqvinc 3226	. . . . . . . . . . . . . . 15
99	98, 29, 7	gencl 3139	. . . . . . . . . . . . . 14
100		jao 512	. . . . . . . . . . . . . 14
101	99, 100	mpi 17	. . . . . . . . . . . . 13
102	41, 101	syl5 32	. . . . . . . . . . . 12
103	97, 102	syl5 32	. . . . . . . . . . 11
104	92, 103	syl6com 35	. . . . . . . . . 10
105	104	impd 431	. . . . . . . . 9
106	16	sseq1i 3527	. . . . . . . . . . 11
107		0ex 4582	. . . . . . . . . . . 12
108		sucssel 4975	. . . . . . . . . . . 12
109	107, 108	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11
110	106, 109	sylbi 195	. . . . . . . . . 10
111		elni2 9276	. . . . . . . . . . 11
112		indpi.6	. . . . . . . . . . 11
113	111, 112	sylbir 213	. . . . . . . . . 10
114	110, 113	sylan2 474	. . . . . . . . 9
115	105, 114	syl9r 72	. . . . . . . 8
116	115	adantlr 714	. . . . . . 7
117	25, 30, 82, 86, 87, 116	findsg 6727	. . . . . 6
118	21, 117	mpanl2 681	. . . . 5
119	11, 20, 118	syl2anc 661	. . . 4
120	119	expd 436	. . 3
121	120	pm2.43i 47	. 2
122		nlt1pi 9305	. . . 4
123		ltsopi 9287	. . . . . 6
124		sotric 4831	. . . . . 6
125	123, 124	mpan 670	. . . . 5
126	1, 125	mpan2 671	. . . 4
127	122, 126	mtbii 302	. . 3
128	127	notnotrd 113	. 2
129	10, 121, 128	mpjaod 381	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784   class class class wbr 4452  Orwor 4804  Ordword 4882  con0 4883  succsuc 4885  (class class class)co 6296  com 6700  c1o 7142  coa 7146  cnpi 9243  cpli 9244  clti 9246

This theorem is referenced by:  prlem934  9432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-ni 9271  df-pli 9272  df-lti 9274