Theorem inf0 8059

Description: Our Axiom of Infinity derived from existence of omega. The proof shows that the especially contrived class " " exists, is a subset of its union, and contains a given set (and thus is nonempty). Thus, it provides an example demonstrating that a set exists with the necessary properties demanded by ax-inf 8076. (Contributed by NM, 15-Oct-1996.)

Hypothesis

Ref	Expression
inf0.1

Assertion

Ref	Expression
inf0

Distinct variable group:   ,,,

Proof of Theorem inf0

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3112	. . . 4
2		fr0g 7120	. . . 4
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3
4		frfnom 7119	. . . 4
5		peano1 6719	. . . 4
6		fnfvelrn 6028	. . . 4
7	4, 5, 6	mp2an 672	. . 3
8	3, 7	eqeltrri 2542	. 2
9		fvelrnb 5920	. . . . 5
10	4, 9	ax-mp 5	. . . 4
11		fvex 5881	. . . . . . . . . 10
12	11	sucid 4962	. . . . . . . . 9
13	11	sucex 6646	. . . . . . . . . 10
14		eqid 2457	. . . . . . . . . . 11
15		suceq 4948	. . . . . . . . . . 11
16		suceq 4948	. . . . . . . . . . 11
17	14, 15, 16	frsucmpt2 7124	. . . . . . . . . 10
18	13, 17	mpan2 671	. . . . . . . . 9
19	12, 18	syl5eleqr 2552	. . . . . . . 8
20		eleq1 2529	. . . . . . . 8
21	19, 20	syl5ib 219	. . . . . . 7
22		peano2b 6716	. . . . . . . . 9
23		fnfvelrn 6028	. . . . . . . . . 10
24	4, 23	mpan 670	. . . . . . . . 9
25	22, 24	sylbi 195	. . . . . . . 8
26	25	a1i 11	. . . . . . 7
27	21, 26	jcad 533	. . . . . 6
28		fvex 5881	. . . . . . 7
29		eleq2 2530	. . . . . . . 8
30		eleq1 2529	. . . . . . . 8
31	29, 30	anbi12d 710	. . . . . . 7
32	28, 31	spcev 3201	. . . . . 6
33	27, 32	syl6com 35	. . . . 5
34	33	rexlimiv 2943	. . . 4
35	10, 34	sylbi 195	. . 3
36	35	ax-gen 1618	. 2
37		fndm 5685	. . . . . 6
38	4, 37	ax-mp 5	. . . . 5
39		inf0.1	. . . . 5
40	38, 39	eqeltri 2541	. . . 4
41		fnfun 5683	. . . . 5
42	4, 41	ax-mp 5	. . . 4
43		funrnex 6767	. . . 4
44	40, 42, 43	mp2 9	. . 3
45		eleq2 2530	. . . 4
46		eleq2 2530	. . . . . 6
47		eleq2 2530	. . . . . . . 8
48	47	anbi2d 703	. . . . . . 7
49	48	exbidv 1714	. . . . . 6
50	46, 49	imbi12d 320	. . . . 5
51	50	albidv 1713	. . . 4
52	45, 51	anbi12d 710	. . 3
53	44, 52	spcev 3201	. 2
54	8, 36, 53	mp2an 672	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  axinf  8082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095