Theorem inf3lem1 8066

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4

Assertion

Ref	Expression
inf3lem1

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem1

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . 3
2		suceq 4948	. . . 4
3	2	fveq2d 5875	. . 3
4	1, 3	sseq12d 3532	. 2
5		fveq2 5871	. . 3
6		suceq 4948	. . . 4
7	6	fveq2d 5875	. . 3
8	5, 7	sseq12d 3532	. 2
9		fveq2 5871	. . 3
10		suceq 4948	. . . 4
11	10	fveq2d 5875	. . 3
12	9, 11	sseq12d 3532	. 2
13		fveq2 5871	. . 3
14		suceq 4948	. . . 4
15	14	fveq2d 5875	. . 3
16	13, 15	sseq12d 3532	. 2
17		inf3lem.1	. . . 4
18		inf3lem.2	. . . 4
19		inf3lem.3	. . . 4
20	17, 18, 19, 19	inf3lemb 8063	. . 3
21		0ss 3814	. . 3
22	20, 21	eqsstri 3533	. 2
23		sstr2 3510	. . . . . . . 8
24	23	com12 31	. . . . . . 7
25	24	anim2d 565	. . . . . 6
26		vex 3112	. . . . . . . . . 10
27	17, 18, 26, 19	inf3lemc 8064	. . . . . . . . 9
28	27	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
29		vex 3112	. . . . . . . . 9
30		fvex 5881	. . . . . . . . 9
31	17, 18, 29, 30	inf3lema 8062	. . . . . . . 8
32	28, 31	syl6bb 261	. . . . . . 7
33		peano2b 6716	. . . . . . . . . 10
34	26	sucex 6646	. . . . . . . . . . 11
35	17, 18, 34, 19	inf3lemc 8064	. . . . . . . . . 10
36	33, 35	sylbi 195	. . . . . . . . 9
37	36	eleq2d 2527	. . . . . . . 8
38		fvex 5881	. . . . . . . . 9
39	17, 18, 29, 38	inf3lema 8062	. . . . . . . 8
40	37, 39	syl6bb 261	. . . . . . 7
41	32, 40	imbi12d 320	. . . . . 6
42	25, 41	syl5ibr 221	. . . . 5
43	42	imp 429	. . . 4
44	43	ssrdv 3509	. . 3
45	44	ex 434	. 2
46	4, 8, 12, 16, 22, 45	finds 6726	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |`cres 5006  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  inf3lem4  8069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095