Theorem inf3lem2 8067

Description: Lemma for our Axiom of Infinity => standard Axiom of Infinity. See inf3 8073 for detailed description. (Contributed by NM, 28-Oct-1996.)

Hypotheses

Ref	Expression
inf3lem.1
inf3lem.2
inf3lem.3
inf3lem.4

Assertion

Ref	Expression
inf3lem2

Distinct variable group:   ,,

Proof of Theorem inf3lem2

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5871	. . . . 5
2	1	neeq1d 2734	. . . 4
3	2	imbi2d 316	. . 3
4		fveq2 5871	. . . . 5
5	4	neeq1d 2734	. . . 4
6	5	imbi2d 316	. . 3
7		fveq2 5871	. . . . 5
8	7	neeq1d 2734	. . . 4
9	8	imbi2d 316	. . 3
10		fveq2 5871	. . . . 5
11	10	neeq1d 2734	. . . 4
12	11	imbi2d 316	. . 3
13		inf3lem.1	. . . . . . . 8
14		inf3lem.2	. . . . . . . 8
15		inf3lem.3	. . . . . . . 8
16		inf3lem.4	. . . . . . . 8
17	13, 14, 15, 16	inf3lemb 8063	. . . . . . 7
18	17	eqeq1i 2464	. . . . . 6
19		eqcom 2466	. . . . . 6
20	18, 19	sylbb 197	. . . . 5
21	20	necon3i 2697	. . . 4
22	21	adantr 465	. . 3
23		vex 3112	. . . . . . . . 9
24	13, 14, 23, 16	inf3lemd 8065	. . . . . . . 8
25		df-pss 3491	. . . . . . . . . 10
26		pssnel 3893	. . . . . . . . . 10
27	25, 26	sylbir 213	. . . . . . . . 9
28		ssel 3497	. . . . . . . . . . . . . . 15
29		eluni 4252	. . . . . . . . . . . . . . 15
30	28, 29	syl6ib 226	. . . . . . . . . . . . . 14
31		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
32	31	biimparc 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
33	13, 14, 23, 16	inf3lemc 8064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
34	33	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
35		elin 3686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
36		vex 3112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
37		fvex 5881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
38	13, 14, 36, 37	inf3lema 8062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
39	38	simprbi 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40	39	sseld 3502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
41	35, 40	syl5bir 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
42	34, 41	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
43	32, 42	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
44	43	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
45	44	exp5c 616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
46	45	com34 83	. . . . . . . . . . . . . . . 16
47	46	impd 431	. . . . . . . . . . . . . . 15
48	47	exlimdv 1724	. . . . . . . . . . . . . 14
49	30, 48	sylan9r 658	. . . . . . . . . . . . 13
50	49	pm2.43d 48	. . . . . . . . . . . 12
51		id 22	. . . . . . . . . . . . 13
52	51	necon3bd 2669	. . . . . . . . . . . 12
53	50, 52	syl6 33	. . . . . . . . . . 11
54	53	impd 431	. . . . . . . . . 10
55	54	exlimdv 1724	. . . . . . . . 9
56	27, 55	syl5 32	. . . . . . . 8
57	24, 56	sylani 654	. . . . . . 7
58	57	exp4b 607	. . . . . 6
59	58	pm2.43a 49	. . . . 5
60	59	adantld 467	. . . 4
61	60	a2d 26	. . 3
62	3, 6, 9, 12, 22, 61	finds 6726	. 2
63	62	com12 31	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  {crab 2811  cvv 3109  i^icin 3474  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784  U.cuni 4249  e.cmpt 4510  succsuc 4885  |`cres 5006  `cfv 5593  com 6700  reccrdg 7094

This theorem is referenced by:  inf3lem3  8068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095