Theorem infcda1 8594

Description: An infinite set is equinumerous to itself added with one. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infcda1

Proof of Theorem infcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 7542	. . . . . . . 8
2	1	brrelex2i 5046	. . . . . . 7
3		1on 7156	. . . . . . 7
4		cdaval 8571	. . . . . . 7
5	2, 3, 4	sylancl 662	. . . . . 6
6		df1o2 7161	. . . . . . . . 9
7	6	xpeq1i 5024	. . . . . . . 8
8		0ex 4582	. . . . . . . . 9
9	3	elexi 3119	. . . . . . . . 9
10	8, 9	xpsn 6073	. . . . . . . 8
11	7, 10	eqtr2i 2487	. . . . . . 7
12	11	a1i 11	. . . . . 6
13	5, 12	difeq12d 3622	. . . . 5
14		difun2 3907	. . . . . 6
15		xp01disj 7165	. . . . . . 7
16		disj3 3871	. . . . . . 7
17	15, 16	mpbi 208	. . . . . 6
18	14, 17	eqtr4i 2489	. . . . 5
19	13, 18	syl6eq 2514	. . . 4
20		cdadom3 8589	. . . . . . 7
21	2, 3, 20	sylancl 662	. . . . . 6
22		domtr 7588	. . . . . 6
23	21, 22	mpdan 668	. . . . 5
24		infdifsn 8094	. . . . 5
25	23, 24	syl 16	. . . 4
26	19, 25	eqbrtrrd 4474	. . 3
27	26	ensymd 7586	. 2
28		xpsneng 7622	. . 3
29	2, 8, 28	sylancl 662	. 2
30		entr 7587	. 2
31	27, 29, 30	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  con0 4883  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  com 6700  c1o 7142  cen 7533  cdom 7534  ccda 8568

This theorem is referenced by:  pwcdaidm  8596  isfin4-3  8716  canthp1lem2  9052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-cda 8569