Theorem infensuc 7715

Description: Any infinite ordinal is equinumerous to its successor. Exercise 7 of [TakeutiZaring] p. 88. Proved without the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2013.)

Assertion

Ref	Expression
infensuc

Proof of Theorem infensuc

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onprc 6620	. . . . 5
2		eleq1 2529	. . . . 5
3	1, 2	mtbiri 303	. . . 4
4		ssexg 4598	. . . . 5
5	4	ancoms 453	. . . 4
6	3, 5	nsyl3 119	. . 3
7		omon 6711	. . . 4
8	7	ori 375	. . 3
9	6, 8	nsyl2 127	. 2
10		id 22	. . . . . . 7
11		suceq 4948	. . . . . . 7
12	10, 11	breq12d 4465	. . . . . 6
13		id 22	. . . . . . 7
14		suceq 4948	. . . . . . 7
15	13, 14	breq12d 4465	. . . . . 6
16		id 22	. . . . . . 7
17		suceq 4948	. . . . . . 7
18	16, 17	breq12d 4465	. . . . . 6
19		id 22	. . . . . . 7
20		suceq 4948	. . . . . . 7
21	19, 20	breq12d 4465	. . . . . 6
22		limom 6715	. . . . . . 7
23	22	limensuci 7713	. . . . . 6
24		vex 3112	. . . . . . . . . 10
25	24	sucex 6646	. . . . . . . . . 10
26		en2sn 7615	. . . . . . . . . 10
27	24, 25, 26	mp2an 672	. . . . . . . . 9
28		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . 13
29		ordirr 4901	. . . . . . . . . . . . 13
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
31		disjsn 4090	. . . . . . . . . . . 12
32	30, 31	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
33		eloni 4893	. . . . . . . . . . . . 13
34		ordirr 4901	. . . . . . . . . . . . 13
35	33, 34	syl 16	. . . . . . . . . . . 12
36		sucelon 6652	. . . . . . . . . . . 12
37		disjsn 4090	. . . . . . . . . . . 12
38	35, 36, 37	3imtr4i 266	. . . . . . . . . . 11
39	32, 38	jca 532	. . . . . . . . . 10
40		unen 7618	. . . . . . . . . . . 12
41		df-suc 4889	. . . . . . . . . . . 12
42		df-suc 4889	. . . . . . . . . . . 12
43	40, 41, 42	3brtr4g 4484	. . . . . . . . . . 11
44	43	ex 434	. . . . . . . . . 10
45	39, 44	syl5 32	. . . . . . . . 9
46	27, 45	mpan2 671	. . . . . . . 8
47	46	com12 31	. . . . . . 7
48	47	ad2antrr 725	. . . . . 6
49		vex 3112	. . . . . . . . 9
50		limensuc 7714	. . . . . . . . 9
51	49, 50	mpan 670	. . . . . . . 8
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . 7
53	52	a1d 25	. . . . . 6
54	12, 15, 18, 21, 23, 48, 53	tfindsg 6695	. . . . 5
55	54	exp31 604	. . . 4
56	55	com23 78	. . 3
57	56	imp 429	. 2
58	9, 57	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  {csn 4029   class class class wbr 4452  Ordword 4882  con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885  com 6700  cen 7533

This theorem is referenced by:  cardlim  8374  cardsucinf  8386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538