Theorem inffien 8465

Description: The set of finite intersections of an infinite well-orderable set is equinumerous to the set itself. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
inffien

Proof of Theorem inffien

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infpwfien 8464	. . . . . . . 8
2		relen 7541	. . . . . . . . 9
3	2	brrelexi 5045	. . . . . . . 8
4	1, 3	syl 16	. . . . . . 7
5		difss 3630	. . . . . . 7
6		ssdomg 7581	. . . . . . 7
7	4, 5, 6	mpisyl 18	. . . . . 6
8		domentr 7594	. . . . . 6
9	7, 1, 8	syl2anc 661	. . . . 5
10		numdom 8440	. . . . 5
11	9, 10	syldan 470	. . . 4
12		eqid 2457	. . . . . 6
13	12	fifo 7912	. . . . 5
14	13	adantr 465	. . . 4
15		fodomnum 8459	. . . 4
16	11, 14, 15	sylc 60	. . 3
17		domtr 7588	. . 3
18	16, 9, 17	syl2anc 661	. 2
19		fvex 5881	. . 3
20		ssfii 7899	. . . 4
21	20	adantr 465	. . 3
22		ssdomg 7581	. . 3
23	19, 21, 22	mpsyl 63	. 2
24		sbth 7657	. 2
25	18, 23, 24	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  e.wcel 1818  cvv 3109  \cdif 3472  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {csn 4029  |^|cint 4286   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  com 6700  cen 7533  cdom 7534  cfn 7536  cfi 7890  ccrd 8337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-seqom 7132  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-fi 7891  df-oi 7956  df-card 8341  df-acn 8344