Theorem infssuni 7831

Description: If an infinite set is included in the underlying set of a finite cover , then there exists a set of the cover that contains an infinite number of element of . (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)

Assertion

Ref	Expression
infssuni

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem infssuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfral2 2904	. . 3
2		iunfi 7828	. . . . . . . 8
3		iunin2 4394	. . . . . . . . . 10
4	3	eleq1i 2534	. . . . . . . . 9
5		uniiun 4383	. . . . . . . . . . . . 13
6	5	eqcomi 2470	. . . . . . . . . . . 12
7	6	ineq2i 3696	. . . . . . . . . . 11
8	7	eleq1i 2534	. . . . . . . . . 10
9		df-ss 3489	. . . . . . . . . . . 12
10		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . . 13
11		pm2.24 109	. . . . . . . . . . . . 13
12	10, 11	syl6bi 228	. . . . . . . . . . . 12
13	9, 12	sylbi 195	. . . . . . . . . . 11
14	13	com12 31	. . . . . . . . . 10
15	8, 14	sylbi 195	. . . . . . . . 9
16	4, 15	sylbi 195	. . . . . . . 8
17	2, 16	syl 16	. . . . . . 7
18	17	ex 434	. . . . . 6
19	18	com24 87	. . . . 5
20	19	com12 31	. . . 4
21	20	3imp 1190	. . 3
22	1, 21	syl5bir 218	. 2
23	22	pm2.18d 111	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475  U.cuni 4249  U_ciun 4330  cfn 7536

This theorem is referenced by:  bwth  19910  bwthOLD  19911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-fin 7540