Theorem infxp 8616

Description: Absorption law for multiplication with an infinite cardinal. Equivalent to Proposition 10.41 of [TakeutiZaring] p. 95. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxp

Proof of Theorem infxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdomdom 7563	. . 3
2		infxpabs 8613	. . . . . 6
3		infunabs 8608	. . . . . . . . 9
4	3	3expa 1196	. . . . . . . 8
5	4	adantrl 715	. . . . . . 7
6	5	ensymd 7586	. . . . . 6
7		entr 7587	. . . . . 6
8	2, 6, 7	syl2anc 661	. . . . 5
9	8	expr 615	. . . 4
10	9	adantrl 715	. . 3
11	1, 10	syl5 32	. 2
12		domtri2 8391	. . . 4
13	12	ad2ant2r 746	. . 3
14		xpcomeng 7629	. . . . . . 7
15	14	ad2ant2r 746	. . . . . 6
16	15	adantr 465	. . . . 5
17		simplrl 761	. . . . . . 7
18		simplr 755	. . . . . . . 8
19		domtr 7588	. . . . . . . 8
20	18, 19	sylan 471	. . . . . . 7
21		infn0 7802	. . . . . . . 8
22	21	ad3antlr 730	. . . . . . 7
23		simpr 461	. . . . . . 7
24		infxpabs 8613	. . . . . . 7
25	17, 20, 22, 23, 24	syl22anc 1229	. . . . . 6
26		uncom 3647	. . . . . . . 8
27		infunabs 8608	. . . . . . . . 9
28	17, 20, 23, 27	syl3anc 1228	. . . . . . . 8
29	26, 28	syl5eqbr 4485	. . . . . . 7
30	29	ensymd 7586	. . . . . 6
31		entr 7587	. . . . . 6
32	25, 30, 31	syl2anc 661	. . . . 5
33		entr 7587	. . . . 5
34	16, 32, 33	syl2anc 661	. . . 4
35	34	ex 434	. . 3
36	13, 35	sylbird 235	. 2
37	11, 36	pm2.61d 158	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  =/=wne 2652  u.cun 3473  c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  domcdm 5004  com 6700  cen 7533  cdom 7534  csdm 7535  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  alephmul  8974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-2o 7150  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341  df-cda 8569