Theorem infxpidm2 8415

Description: The Cartesian product of an infinite set with itself is idempotent. This theorem provides the basis for infinite cardinal arithmetic. Proposition 10.40 of [TakeutiZaring] p. 95. See also infxpidm 8958. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
infxpidm2

Proof of Theorem infxpidm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cardid2 8355	. . . . . 6
2	1	ensymd 7586	. . . . 5
3		xpen 7700	. . . . 5
4	2, 2, 3	syl2anc 661	. . . 4
5	4	adantr 465	. . 3
6		cardon 8346	. . . 4
7		cardom 8388	. . . . 5
8		omelon 8084	. . . . . . . 8
9		onenon 8351	. . . . . . . 8
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . 7
11		carddom2 8379	. . . . . . 7
12	10, 11	mpan 670	. . . . . 6
13	12	biimpar 485	. . . . 5
14	7, 13	syl5eqssr 3548	. . . 4
15		infxpen 8413	. . . 4
16	6, 14, 15	sylancr 663	. . 3
17		entr 7587	. . 3
18	5, 16, 17	syl2anc 661	. 2
19	1	adantr 465	. 2
20		entr 7587	. 2
21	18, 19, 20	syl2anc 661	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  C_wss 3475   class class class wbr 4452  con0 4883  X.cxp 5002  domcdm 5004  `cfv 5593  com 6700  cen 7533  cdom 7534  ccrd 8337

This theorem is referenced by:  infpwfien  8464  mappwen  8514  infcdaabs  8607  infxpdom  8612  fin67  8796  infxpidm  8958  ttac  30978

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-se 4844  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-isom 5602  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-oi 7956  df-card 8341