Theorem intex 4608

Description: The intersection of a nonempty class exists. Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 44 and its converse. (Contributed by NM, 13-Aug-2002.)

Assertion

Ref	Expression
intex

Proof of Theorem intex

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3794	. . 3
2		intss1 4301	. . . . 5
3		vex 3112	. . . . . 6
4	3	ssex 4596	. . . . 5
5	2, 4	syl 16	. . . 4
6	5	exlimiv 1722	. . 3
7	1, 6	sylbi 195	. 2
8		vprc 4590	. . . 4
9		inteq 4289	. . . . . 6
10		int0 4300	. . . . . 6
11	9, 10	syl6eq 2514	. . . . 5
12	11	eleq1d 2526	. . . 4
13	8, 12	mtbiri 303	. . 3
14	13	necon2ai 2692	. 2
15	7, 14	impbii 188	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286

This theorem is referenced by:  intnex  4609  intexab  4610  iinexg  4612  onint0  6631  onintrab  6636  onmindif2  6647  fival  7892  elfi2  7894  elfir  7895  dffi2  7903  elfiun  7910  fifo  7912  tz9.1c  8182  tz9.12lem1  8226  tz9.12lem3  8228  rankf  8233  cardf2  8345  cardval3  8354  cardid2  8355  cardcf  8653  cflim2  8664  intwun  9134  wuncval  9141  inttsk  9173  intgru  9213  gruina  9217  mremre  15001  mrcval  15007  asplss  17978  aspsubrg  17980  toponmre  19594  subbascn  19755  insiga  28137  sigagenval  28140  sigagensiga  28141  dmsigagen  28144  dfrtrcl2  29071  dfon2lem8  29222  dfon2lem9  29223  igenval  30458  elrfi  30626  ismrcd1  30630  mzpval  30664  dmmzp  30665  pclvalN  35614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-v 3111  df-dif 3478  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-int 4287