Theorem intgru 9213

Description: The intersection of a family of universes is a universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
intgru

Proof of Theorem intgru

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 461	. . 3
2		intex 4608	. . 3
3	1, 2	sylib 196	. 2
4		dfss3 3493	. . . . 5
5		grutr 9192	. . . . . 6
6	5	ralimi 2850	. . . . 5
7	4, 6	sylbi 195	. . . 4
8		trint 4560	. . . 4
9	7, 8	syl 16	. . 3
10	9	adantr 465	. 2
11		grupw 9194	. . . . . . . . . 10
12	11	ex 434	. . . . . . . . 9
13	12	ral2imi 2845	. . . . . . . 8
14		vex 3112	. . . . . . . . 9
15	14	elint2 4293	. . . . . . . 8
16	14	pwex 4635	. . . . . . . . 9
17	16	elint2 4293	. . . . . . . 8
18	13, 15, 17	3imtr4g 270	. . . . . . 7
19	18	imp 429	. . . . . 6
20	19	adantlr 714	. . . . 5
21		r19.26 2984	. . . . . . . . . 10
22		grupr 9196	. . . . . . . . . . . 12
23	22	3expia 1198	. . . . . . . . . . 11
24	23	ral2imi 2845	. . . . . . . . . 10
25	21, 24	sylbir 213	. . . . . . . . 9
26		vex 3112	. . . . . . . . . 10
27	26	elint2 4293	. . . . . . . . 9
28		prex 4694	. . . . . . . . . 10
29	28	elint2 4293	. . . . . . . . 9
30	25, 27, 29	3imtr4g 270	. . . . . . . 8
31	15, 30	sylan2b 475	. . . . . . 7
32	31	ralrimiv 2869	. . . . . 6
33	32	adantlr 714	. . . . 5
34		elmapg 7452	. . . . . . . . . 10
35	14, 34	mpan2 671	. . . . . . . . 9
36	2, 35	sylbi 195	. . . . . . . 8
37	36	ad2antlr 726	. . . . . . 7
38		intss1 4301	. . . . . . . . . . . 12
39		fss 5744	. . . . . . . . . . . 12
40	38, 39	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11
41	40	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . 10
42		gruurn 9197	. . . . . . . . . . . . . 14
43	42	3expia 1198	. . . . . . . . . . . . 13
44	43	ral2imi 2845	. . . . . . . . . . . 12
45	21, 44	sylbir 213	. . . . . . . . . . 11
46	15, 45	sylan2b 475	. . . . . . . . . 10
47	41, 46	syl5 32	. . . . . . . . 9
48	26	rnex 6734	. . . . . . . . . . 11
49	48	uniex 6596	. . . . . . . . . 10
50	49	elint2 4293	. . . . . . . . 9
51	47, 50	syl6ibr 227	. . . . . . . 8
52	51	adantlr 714	. . . . . . 7
53	37, 52	sylbid 215	. . . . . 6
54	53	ralrimiv 2869	. . . . 5
55	20, 33, 54	3jca 1176	. . . 4
56	55	ralrimiva 2871	. . 3
57	4, 56	sylanb 472	. 2
58		elgrug 9191	. . 3
59	58	biimpar 485	. 2
60	3, 10, 57, 59	syl12anc 1226	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  cvv 3109  C_wss 3475  c0 3784  ~Pcpw 4012  {cpr 4031  U.cuni 4249  |^|cint 4286  Trwtr 4545  rancrn 5005  -->wf 5589  (class class class)co 6296  cmap 7439  cgru 9189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-gru 9190