Theorem intrnfi 7896

Description: Sufficient condition for the intersection of the range of a function to be in the set of finite intersections. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
intrnfi

Proof of Theorem intrnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr1 1002	. . . 4
2		frn 5742	. . . 4
3	1, 2	syl 16	. . 3
4		fdm 5740	. . . . . 6
5	1, 4	syl 16	. . . . 5
6		simpr2 1003	. . . . 5
7	5, 6	eqnetrd 2750	. . . 4
8		dm0rn0 5224	. . . . 5
9	8	necon3bii 2725	. . . 4
10	7, 9	sylib 196	. . 3
11		simpr3 1004	. . . 4
12		ffn 5736	. . . . . 6
13	1, 12	syl 16	. . . . 5
14		dffn4 5806	. . . . 5
15	13, 14	sylib 196	. . . 4
16		fofi 7826	. . . 4
17	11, 15, 16	syl2anc 661	. . 3
18	3, 10, 17	3jca 1176	. 2
19		elfir 7895	. 2
20	18, 19	syldan 470	1

Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  C_wss 3475  c0 3784  |^|cint 4286  domcdm 5004  rancrn 5005  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  `cfv 5593  cfn 7536  cfi 7890

This theorem is referenced by:  iinfi  7897  firest  14830

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-1o 7149  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-fi 7891