Theorem ioof 11651

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof

Proof of Theorem ioof

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 11582	. . . 4
2		ioossre 11615	. . . . 5
3		ovex 6324	. . . . . 6
4	3	elpw 4018	. . . . 5
5	2, 4	mpbir 209	. . . 4
6	1, 5	syl6eqelr 2554	. . 3
7	6	rgen2a 2884	. 2
8		df-ioo 11562	. . 3
9	8	fmpt2 6867	. 2
10	7, 9	mpbi 208	1

Syntax hints:  /\wa 369  e.wcel 1818  A.wral 2807  {crab 2811  C_wss 3475  ~Pcpw 4012   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  -->wf 5589  (class class class)co 6296  cr 9512  cxr 9648  clt 9649  cioo 11558

This theorem is referenced by:  unirnioo  11653  dfioo2  11654  ioorebas  11655  qtopbaslem  21265  retopbas  21267  qdensere  21277  blssioo  21300  tgioo  21301  tgqioo  21305  re2ndc  21306  xrtgioo  21311  xrge0tsms  21339  bndth  21458  ovolfioo  21879  ovollb  21890  ovolicc2  21933  ovolfs2  21980  ioorf  21982  ioorinv  21985  ioorcl  21986  uniiccdif  21987  uniioovol  21988  uniiccvol  21989  uniioombllem2  21992  uniioombllem3a  21993  uniioombllem3  21994  uniioombllem4  21995  uniioombllem5  21996  uniioombl  21998  opnmblALT  22012  mbfdm  22035  mbfima  22039  mbfid  22043  ismbfd  22047  mbfimaopnlem  22062  i1fd  22088  xrge0tsmsd  27775  iccllyscon  28695  rellyscon  28696  ftc1anc  30098  ftc2nc  30099  islptre  31625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ioo 11562