Theorem isfin3 8697

Description: Definition of a III-finite set. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin3

Proof of Theorem isfin3

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fin3 8689	. . 3
2	1	eleq2i 2535	. 2
3		elex 3118	. . . 4
4		pwexb 6611	. . . 4
5	3, 4	sylibr 212	. . 3
6		pweq 4015	. . . 4
7	6	eleq1d 2526	. . 3
8	5, 7	elab3 3253	. 2
9	2, 8	bitri 249	1

Syntax hints:  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  {cab 2442  cvv 3109  ~Pcpw 4012  cfin4 8681  cfin3 8682

This theorem is referenced by:  fin23lem41  8753  isfin32i  8766  fin34  8791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-uni 4250  df-fin3 8689