Theorem isfin7-2 8797

Description: A set is VII-finite iff it is non-well-orderable or finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
isfin7-2

Proof of Theorem isfin7-2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfin7 8702	. . . 4
2	1	ibi 241	. . 3
3		isnum2 8347	. . . . 5
4		ensym 7584	. . . . . . . . 9
5		simprl 756	. . . . . . . . . . 11
6		enfi 7756	. . . . . . . . . . . . . . 15
7		onfin 7728	. . . . . . . . . . . . . . 15
8	6, 7	sylan9bbr 700	. . . . . . . . . . . . . 14
9	8	biimprd 223	. . . . . . . . . . . . 13
10	9	con3d 133	. . . . . . . . . . . 12
11	10	impcom 430	. . . . . . . . . . 11
12	5, 11	eldifd 3486	. . . . . . . . . 10
13		simprr 757	. . . . . . . . . 10
14	12, 13	jca 532	. . . . . . . . 9
15	4, 14	sylanr2 653	. . . . . . . 8
16	15	ex 434	. . . . . . 7
17	16	reximdv2 2928	. . . . . 6
18	17	com12 31	. . . . 5
19	3, 18	sylbi 195	. . . 4
20	19	con1d 124	. . 3
21	2, 20	syl5com 30	. 2
22		eldifi 3625	. . . . . . 7
23		ensym 7584	. . . . . . 7
24		isnumi 8348	. . . . . . 7
25	22, 23, 24	syl2an 477	. . . . . 6
26	25	rexlimiva 2945	. . . . 5
27	26	con3i 135	. . . 4
28		isfin7 8702	. . . 4
29	27, 28	syl5ibr 221	. . 3
30		fin17 8795	. . . 4
31	30	a1i 11	. . 3
32	29, 31	jad 162	. 2
33	21, 32	impbid2 204	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818  E.wrex 2808  \cdif 3472   class class class wbr 4452  con0 4883  domcdm 5004  com 6700  cen 7533  cfn 7536  ccrd 8337  cfin7 8685

This theorem is referenced by:  fin71num  8798  dffin7-2  8799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-fin7 8692