MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfinite Unicode version

Theorem isfinite 8090
Description: A set is finite iff it is strictly dominated by the class of natural number. Theorem 42 of [Suppes] p. 151. The Axiom of Infinity is used for the forward implication. (Contributed by FL, 16-Apr-2011.)
Assertion
Ref Expression
isfinite

Proof of Theorem isfinite
StepHypRef Expression
1 omex 8081 . 2
2 isfiniteg 7800 . 2
31, 2ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  <->wb 184  e.wcel 1818   cvv 3109   class class class wbr 4452   com 6700   csdm 7535   cfn 7536
This theorem is referenced by:  infxpenlem  8412  pwsdompw  8605  cflim2  8664  axcc4dom  8842  domtriom  8844  fin41  8845  dominf  8846  infinf  8962  unirnfdomd  8963  dominfac  8969  cfpwsdom  8980  canthp1lem2  9052  pwfseqlem3  9059  pwfseqlem4a  9060  pwfseqlem4  9061  gchpwdom  9069  gchaleph  9070  gchhar  9078  omina  9090  gchina  9098  tskpr  9169  rexpen  13961  odinf  16585  fctop2  19506  dis1stc  20000  ovolfi  21905  iunmbl2  21967  dyadmbl  22009  fict  27530  sibfof  28282  mblfinlem1  30051  ovoliunnfl  30056  heiborlem3  30309  ctbnfien  30752  pellex  30771  numinfctb  31052
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-om 6701  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator